Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
наименьших квадратов для ц и ?i равны р = 4,90 и ?i = 0,35,
a S(Ji, ?i) =38,91.
Отсюда с помощью (5.4.25) получаем 95%-ный контур;
= 44,1.
Отметим, что начальные значения гц, ..., го также можно варьировать, а поверхность суммы квадратов можно строить в зависимости и от Zi-i, ¦ •., го, рассматриваемых как параметры. Однако получаемые результаты обычно не оправдывают возникающих при этом усложнений *>.
*> Поскольку для процессов скользящего среднего конечного порядка (5.4.22) условие стационарности не накладывает никаких ограничений на коэффициенты ?i, .. , ?i, имеется некоторая неоднозначность при оценивании этих коэффициентов. Спектральная плотность процесса (5.4.22) равна
гхх (/) = 4-|1 + \е~™ +...+ р,*-^/' I2, - -L с / < 4-
(это частный случай формулы (6.2.24) при Д=1, OtI = Ct2= ... ат=0). Обозначим корни многочлена
М(р) = 1+ frp+ ... + hPl через b\, ..., Ь[. Если заменить любой набор из этих корней Ok1 ..... Ь^г на комплексно-сопряженные обратные значения l/^J , ..., \lbkf, то коэффициенты
?i.....?i многочлена М(р) изменятся. Однако если одновременно заменить с|
на o||A?i 12 •... • І Ььт 12, то, как легко проверить, спектральная плотность
Г'jr X (/) не изменится.
Таким образом, существует несколько различных наборов (az, ?i, .... ?i). дающих одну и ту же функцию Гхх{{). В гл. 6 станет известно, что ковариационная функция стационарного процесса является преобразованием Фурье ют спектральной плотности и, таким образом, однозначно ею определяется. В свою очередь ковариационная функция гауссовского процесса (с нулевым средним значением) однозначно определяет все многомерные распределения процесса. Таким образом, существуют различные наборы параметров (az, ?i, .... ?i). дающие одни и те же конечномерные распределения процесса. Следовательно, безуспешно пытаться однозначно оценить эти параметры по реализации. Если, например, потребовать, чтобы все корни многочлена М(р) лежали внутри единичного круга, то набор (az, ?i.....?;) и спектр будут связаны взаимно однозначно. Точно так же ради однозначности можно было бы потребовать, чтобы все корни многочлена М(р) лежали вне единичного круга (при этом дисперсия a2z была бы наименьшей).
Отметим, что для устойчивости процедуры определения реализации Z1 по реализации X1 способом, предложенным в разд. 5.4.4, требуется, чтобы все корни многочлена М(р) лежали либо внутри единичного круга, либо вне его. Во втором случае нужно задать значения zN, ¦ ¦., Zw-i+i и из рекуррентного соотношения (5.4.22) при t=N, N—1, ...,1 последовательно определять значения Zn-u Zn-1-i, .... Zi-i. — Прим. перев.
38,91
1 + -й-(3,20)
5.4. Оценивание параметров линейного процесса
247
5.4.5. Оценивание параметров смешанного процесса авторегрессии — скользящего среднего
Так как при дискретизации непрерывного процесса авторегрессии порядка т, согласно (5.2.49), получается смешанный дискретный процесс авторегрессии — скользящего среднего, было бы естественно ожидать, что смешанные модели окажутся полезными при подгонке ко многим временным рядам. Для иллюстрации того, как при этом можно построить поверхность логарифмической функции правдоподобия, рассмотрим смешанный процесс
X1- Ji = a, (Xt_, — [X) + а2 (Xt_2 — ц) + Zt + ?,Z,_,.
Рис. 5.21. Остаточные дисперсии для смешанных моделей, подобранных к данным о партиях продукта, изображенным на рис. 5.2.
При фиксированных значениях параметров ц., at, а2 и ?i последовательность z можно получить из равенств
Ч = (X3 — [j.) — a, (X2 — р.) — а2 (X1 — р.),
г^ = (х4 — JJ.) — а, (X3 — (х) — а.2(х2 — JJ.) — ?,z3
и т. д. Поверхность суммы квадратов в таком случае можно представить, строя
5([х, Gt1, а2, P1JX1, X2, Z1=O, Z2=O)= 2
г?
t = 3
248
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
как функцию от ц, аи аг и ?i. С помощью вычислительной машины нетрудно произвести перебор этих моделей, сначала фиксируя т — порядок процесса авторегрессии, а затем меняя /—порядок процесса скользящего среднего. Затем можно построить остаточную дисперсию
s2z{m, /)= N_il2m-\ S(pа«" UP')
как функцию / и т.
На рис. 5.21 показаны s2 (т, I) в зависимости от т + 1 для данных о партиях продукта, изображенных на рис. 5.2. Видно, что при 1 + т< 8 наилучшее согласие получается для модели чистой авторегрессии порядка 3. Основываясь на значениях остаточных дисперсий, можно заключить, что наилучшее согласие с этими данными достигается для модели авторегрессии третьего порядка. Однако, как показано в разд. 5.4.3, в действительности адекватной является модель авторегрессии второго порядка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Box G. Е. P., Jenkins G. M., J. Roy. Stat. Soc, B24, 297 (1962).
2. В о x G. Е. P., J е n k і n s G. M., Bull, of I.S.I,. 24th session, Ottawa, 943 (1963).
3. В о x G. E. P., Jenkins G. M., Time Series Analysis Forecasting and Control, Holden-Day, San Francisco, 1970.
4. W і e n e r N., The Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Applications, John Wiley, New York, 1949.
5. J a m e s H. M., N і с h о 1 s N. В., P h і 11 і p s R. S., Theory of Servome-chanisms, McGraw-Hill, New York, 1947. (Русский перевод: Джеймс, Ни-колье, Филлипс, Теория следящих систем, M., ИЛ, 1953.)
