Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
N
Sl =
1
IV
2 Ct1
2*!-
(5.4.18)
Можно проверить, что и теперь выборочная оценка среднего правдоподобия задается формулой (5.4.16), но при этом a2z
238
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
заменяется на s2., a f(x) и F(x) относятся к /-распределению
с (Af—2) степенями свободы.
Предположим, например, что из временного ряда длины N = 20
мы получили значения s2z =1,44, =64, 0^ = 0,9. Тогда марги-
нальная функция правдоподобия для ai представляет собой усеченное /-распределение, как показано на рис. 5.16. Используя (5.4.16),
-0,6 -0,Ц -0,Z 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 «і
Рис. 5.16. Маргинальная функция правдоподобия для процесса авторегрессии
первого порядка.
где f(x) и F(x) относятся к /-распределению с 18 степенями свободы, получаем, что выборочная оценка среднего правдоподобия
Oc1 = 0,86. Заметим, что операция усреднения правдоподобия отодвинула выборочную оценку максимального правдоподобия ai= = 0,9 от границы стационарности.
Для простоты среднее значение р. временного ряда было положено равным нулю в предыдущих рассуждениях. Можно допустить и ненулевое среднее значение, подставляя Xt — р. вместо Xt. Интегрирование по р., а также по о| дает маргинальное правдоподобие
для ai, которое совпадает с (5.4.17), за исключением того, что Xt
5.4. Оценивание параметров линейного процесса
239
в (5.4.17) заменяется на отклонение от среднего (xt— х), a N — на N — 1, т. е.
(N -3)5^+ 2 —^)8Ui-*i)
/ = 2
¦{N —2)/2
Выборочные оценки среднего правдоподобия для процесса авторегрессии второго порядка. Рассмотрим процесс второго порядка:
X, — V- = °Ч 1 — Y) + а2 (^/-2 — f-) + Функция правдоподобия равна
Z.(<Zj, а2> (і, о! IX1, X2) =
1 " 1 2 [(•^/ —Iа) — аі(*/-і —г1) —
(|а2,аг)
ЛГ-2
ехр
24 /=-3
— а2 (х,_2 —P-)]2 j.
Интегрируя по и,, получаем с точностью до малых «концевых» по правок
L(au
а2, Oz I X1 1
, X2) —•
N
лг-з ехР і - TT" 2 К*/ - х) - а\ - х) -
24 /=з
(х,_2-х)]2}. (5.4.
19)
Следующее интегрирование с дифференциалом d(o2z)/o2z дает совместное правдоподобие для ось «а:
L(Z1, O2Ix1, X2)
( N I /=з
02(Х(_2 — X)]S
¦ (/V —3)/2
(5.4.20)
В случае когда 95%-ная доверительная область лежит полностью в области стационарности, как, например, на рис. 5.15, функция правдоподобия адекватно описывается своими средними значениями и ковариациями. Если же выборочные оценки максимального правдоподобия лежат близко к границе стационарности, то единственный надежный метод заключается в нанесении линий уровня
240
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
правдоподобия. Вместо оценок максимального правдоподобия в этом случае лучше вычислить выборочные оценки среднего правдоподобия. Впрочем, сначала удобно сделать преобразование
«Pl = 1-B3 » ?2 = а2- (5.4.21)
С помощью (5.4.20) можно проверить, что в окрестности максимума правдоподобия
= 0
и, следовательно, параметры q>i и фг ортогональны.
Преобразование (5.4.21) переводит треугольную область стационарности в квадратную область | ср11 < 1, ІфгІ < 1. Теперь можно получить численным методом выборочные оценки среднего правдоподобия, например
і і
И
-1 —1
J ?i? (<Pi, Ъ) d?i dt2
і і
1 1 —і —і
J J /- (<Рь Ъ) dt\ df2
где
f N
l ( = 3
- (ЛГ-3)/2
Выборочные оценки среднего правдоподобия для ai и сс2 можно затем получить из фі и ф2 с помощью обратного преобразования
a, =<р, (l — ср2) ,
:?2-
5.4.3. Определение порядка процесса авторегрессии
В этом разделе рассматривается задача определения порядка т процесса авторегрессии. Простой метод основан на том, что если в подбираемой модели (5.4.1) взято недостаточное число членов, то выборочная оценка дисперсии а2 будет завышена за счет тех членов, которые еще не включены в модель. Лишь когда правильное число членов включено в модель, получается правильная оценка
5.4. Оценивание параметров линейного процесса
241
Это наводит на мысль о том, что если выборочную оценку
Sl(m)= N_2m_X S{lX' av ¦ ¦ ¦• am)
остаточной дисперсии построить в зависимости от пг, то кривая будет иметь минимум или станет пологой в точке, соответствующей правильной степени процесса. На рис. 5.17 показан график s2(m)
в зависимости от m для данных о партиях продукта, изображенных
/40
130
IZO
ПО ¦
/001_і_I_і_I-1-1-1-1-1-J
0 2 4 Є 8 10
гп
Рис. 5.17. Остаточные дисперсии для моделей авторегрессии, подобранных к данным о партиях продукта, изображенным на рис. 5.2.
на рис. 5.2. Видно, что кривая становится пологой около т = 2 и 3. Значит, для этих данных подошел бы процесс авторегрессии второго или третьего порядка.
Частная корреляционная функция. Один из недостатков метода, основанного на s2 (т), состоит в том, что он не всегда может уверенно указывать, какое требуется значение т. Например, достаточно ли уменьшение s2z(tn) на рис. 5.17 при переходе от т = 2 к т = 3, чтобы гарантировать справедливость модели третьего порядка? Более чувствительный критерий получается с помощью
определения для каждого значения га выборочной оценки лт = схт
242
