Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
импульсов, а также вводится предположение о близости частот к
рациональным значениям, настолько близко, насколько это по-
6 ЗАМЕЧАНИЯ
175
зволяет условие (3.6.1). Имеется как собственное вырождение, так и
вырождение, обусловленное переходом от круговых орбит планет к
эллиптическим.
Определив лагранжево движение как движение медленно вращающегося в
плоскости эллипса, у которого большая полуось, эксцентриситет и долгота
перицентра совершают короткопериодические колебания малой амплитуды.
Арнольд доказал следующее утверждение [4]. Рассмотрим движение двух
планет в одной плоскости вокруг Солнца, и пусть их общий центр масс
неподвижен, а ак и eh(k=1, 2) -большие полуоси и эксцентриситеты орбит
планет. Определим в восьмимерном фазовом пространстве область D(б):
0<.ch<ah<iCh; е4<;б (&=1, 2). И пусть т*={д,а*(й:=1, 2)-массы планет, где
ah - постоянные. Тогда имеет место такая теорема.
Теорема. Для любого г]>>0 существует е>0 такое, что если }г<1е, 6<е, то
большинство точек области D(б), за исключением множества меры, меньшей
r)mesO(6), движется так, что
1) точка всегда остается в 0(6);
2) она совершает условно-периодическое движение на аналитических
четырехмерных торах из D(б);
3) она всегда остается ближе, чем г), к точке в фазовом пространстве,
которая совершает некоторое лагранжево движение.
По существу, этот результат является решением вопроса об устойчивости, в
том смысле, что для упомянутого исключительного множества, везде плотного
и неограниченного, движение будет топологически неустойчивым. Арнольд
также сделал аналогичное заключение о наблюдаемых в природе щелях в
распределении малых планет1).
При отсутствии линейных целочисленных связей между частотами медленно
изменяющихся переменных (средние долготы планет), в соответствии с
теоремой Колмогорова, можно применить метод усреднения относительно таких
переменных. Гамильтониан приводится к виду
F = F0(L) + jiF1(Llg, rO + OOi2),
где L = (Li, Ь2)-усредненные переменные действие, соответствующие средним
долготам, а
ii+ir]ft=e4exp (ito&) (к- 1, 2),
ct"A - долгота перицентра планеты номер к. Затем гамильтониан приводится
к (укороченной) нормальной форме в окрестности
!) Важные результаты в этой задаче получены в работе А. Д. Брюно [26*]
(прим. перев.).
176
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
устойчивого положения равновесия |ь=т]А=0, т. е. к виду
F - F2 (г) + F3 (г, 0), где г = (rls г2), 0 = (01; 02), F3 = О (г3), а
+ v2r2 + cnr\ + 2cl2r1r2 + c22rf. Следовательно, в новых канонических
переменных (г, 0)
F = FQ (L') + \iF2 (L', r) + 0 (ii*. г*).
При этом г4=0(е|). Частоты Vi и V2 являются величинами порядка О ([г), т.
е. они соответствуют медленно меняющимся углам 0i, 02. Условно-
периодические решения получаются использованием итеративной процедуры
ньютоновского типа, в которой достигнута квадратичная сходимость.
Оригинальная формулировка теоремы Арнольда для вырожденных систем,
обобщающая описанный выше результат, может быть изложена в следующем
виде. Пусть гамильтониан имеет вид
Н = Н0(х 1, ..., xh) + &Hi{yh ..уп, хи ..хп),
где к<С.п, функция Н\ является 2я-периодической по каждой из переменных
yt и аналитической приже!) и | Imi/ | <;?. Предположим, что при е=0
движение является условно-периодическим и определяется формулами
^ = & = ж" = ° 0 = 1. ••¦,*)
и
di=?i=0 (/ = /с+1, ..., п).
При условии, что среднее значение от Н\ по отношению к у\, ...
..., ук не зависит от yh+1, ..., уп, т. е.
2Л 2Я
j ... I Нх{у, x)dy1... dyk = Ех (ж),
о о
можно показать, что при достаточно малых е для большинства начальных
условий (так же, как и в предыдущей теореме, исключительное множество
является связным, всюду плотным и неограниченным) движение, определяемое
гамильтонианом Н, для всех моментов времени мало отличается! от условно-
периодического, определяемого частотами yi=dHjdxs-aj (где для 7=1, ..., п
xs - постоянные) и гамильтонианом Н = Н0{х)-\-+8 Н1{х). Начальные условия
должны быть таковы, чтобы
/ k \-ft-1
17i(r)i + • • • + 7ft(r)ft I > К ((r)) ^ 2^ I 7 11 j
6. ЗАМЕЧАНИЯ
177
для выбранной соответствующим образом постоянной К. Точнее, можно
сформулировать следующую теорему.
Теорема. Пусть при x^D матрицы
являются неособенными,. Пусть Т - тороидальная область
{Im х = Im у = 0; x^D\ 0 ^ уг ^ 2я, i = 1, ..., п}.
Для данного произвольного г\ > 0 существует ео>0, такое, что, если | в |
<; во, то в Т есть аналитические п-мерные инвариантные торы, и движение
на них является условно-периодическим. Торы образуют в Т нигде не плотное
множество, мера дополнения которого меньше r\ mes Т.
Эта теорема является более простой эквивалентной формой сложной теоремы
Арнольда, приведенной в § 3 настоящей главы. Стоит отметить, что
предшествующая теорема о планетарном движении является очень важной, так
как она дает решение проблемы в случае, когда имеется два разных типа
вырождения: предельное вырождение rfe=0 (или efe=0), соответствующее
круговым орбитам, и собственное вырождение р. = 0, при котором для
