Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
себе применение во многих задачах динамики, так как соответствующая
область является типичной для инвариантных многообразий, встречающихся в
динамике. В этом отношении теория возмущений имеет дело со свойствами
отображений в окрестности неподвижных точек или, в более общем случае, с
поведением инвариантных многообразий, соответствующих отображениям,
сохраняющим площадь при действии возмущений. В историческом отношении
решающей проблемой явилась проблема нормализации отображения в
окрестности неподвижной точки, решению которой посвящена оригинальная
работа Биркгофа [4] и недавние исследования Густав-сона [Ю]1).
Хорошо известно, что сохраняющее площадь отображение XH=Xkxk + h{x,y),
Ун = Игл + gk (x, у)
при 11к=1Д* не может быть приведено, если рассматриваются не
исключительные случаи, к нормальной форме
с помощью преобразования
jj =| ~ ifc + фй Л)'
1 Ук =% + $k (1,4).
Нормальную форму Биркгофа
T. J & =.&к"л (6, Л).
' bft = 'ПьЬ'ь (I, л),
где
uk = + 2 a2,j?j4j +22 а4,3,г1;11;1гт1г+ • • • >
3=1 3=1 1=1
п п п
vk - Щ + 2 ^2,з?/Пу +22 ^4,з\ г?/гЪ'1гт]г + • • •"
j=i s=i 1=1
!) См. также работы А. Д. Брюно о нормальных формах [8*-12*]. Другой
подход для неавтономных периодических систем, использующий метод точечных
отображений, использован в работах А. П. Маркеева [27*], [28*] (прим.
перев.).
(4.1.14)
(4.1.15)
(4.1.16)
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
191
с помощью преобразования (4.1.15) опять же можно получить в виде
формальных рядов, в общем случае расходящихся. Тем не менее, можно найти,
преобразование, приводящее отображение (4.1.13) к виду, совпадающему с
нормальной формой Биркго-фа до приближения любого порядка, хотя
остаточные члены и не стремятся к нулю по мере того, как порядок
приближений стремится к бесконечности. Этот факт для систем с одной
степенью свободы естественным образом приводит к теореме Бирк-гофа о
неподвижной; точке.
Пусть теперь начало координат является неподвижной точкой (отображения)
эллиптического типа и пусть отображение имеет вид (4.1.13) и сохраняет
площадь. Матрица Якоби / этого преобразования является симплектической,
т. е.
FEJ=E.
Если, в частности' рассмотреть замену переменных (4.1.15), где /с = 1,
..., п, то производные dyjdт]* равны единице в на-
чале координат ^=т) = 0 и, следовательно, существует производящая функция
W(y, |), такая, что
Ч = Wyh, Tjh = Wlk. (4.1.17)
Функция W является аналитической в окрестности точки (У. 1) = (0,0), а
ряд
W =^yk ?*+..• (4.1.18)
л
в этой окрестности - сходящимся. Производящая функция W будет описывать
любое преобразование типа U (см. (4.1.15)). При приведении к нормальной
форме Биркгофа ряд для производящей функции W, тем не менее, в общем
случае является расходящимся. В этом случае рассмотрим функцию W*,
полученную отбрасыванием в W всех членов, степень которых выше 2тп-\-2,
т. е. функцию
W* = 2 уЛн + 2 Apqlft ... уРЛ? ¦ ¦ ¦ In", (4.1.19)
ft=l p,q
где суммирование по р и q производится по всем значениям qt, рг,
удовлетворяющим неравенствам
3<2 (Pi + Qt) ^ 2тп + 2. i
Мы получаем
xh ~ WVh = Ik + -Xft (у, 1), lift = w\h = yh + Nh (y, 1),
(4.1.20)
192
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
а по предположению
Q2W*
дкдУи ~
в начале координат %-y=0. Следовательно, в окрестности начала координат
можно написать
Ч), жк=М-Хл(1, Т1). (4.1.21)
Ряды (4.1.21), разумеется, являются сходящимися в окрестности начала
координат и приводят отображение (4.1.13) к виду Т*, который совпадает с
нормальной формой Биркго-фа (4.1.16) с точностью до членов порядка 2т.+
1. Для получения Т* требуется только выполнение условий Я,]=^=1,где /= =
1, ..., /г, a s=l, . .., 2m-\-2. Если такое условие не выполнено, то в W*
появляются нулевые делители, точнее, они появляются первый раз в членах
порядка 2^к^2пг-{-2 при Я,| = 11)-
Пусть пг-2. Так как мы считаем начало координат неподвижной точкой
эллиптического типа, то Т* имеет вид
& = + Фк4) (|, л),
Ци = e~lQ'lr)k -Ьг|Ж4)(|, Л),
где функции ф^4) и г|44) имеют порядок не ниже четырех, так
что достаточно взять
п
&к = ак + 2 $h'sjr\j-1=1
Важным условием является то, что не все $1 одновременно могут быть
нулевыми. Если окажутся именно такими, то необходимо найти приближение
более высокого порядка. Если это условие нарушено в любом порядке, то
система является чрезвычайно особенной. Такая ситуация может быть связана
с задачей о резонансе в консервативной системе.
Очевидно, числа oth и являются вещественными и, более того, 'Пь==1ь
(черта означает комплексное сопряжение). Отсюда следует, что Ци = так
что необходимо рассматривать
!) В действительности должно выполняться более сильное требование Xj'A,|2
... Х^^Ьгде Sj - целые числа, a |sj|+...+ |sn| =1, 2,...,2m-j-2 (прим.
ред.).
2 ОБЛАСТИ ДВИЖЕНИЯ
19.3
только соотношения
Q* = "й -г i №&¦ К = "'"*¦
j=l
С другой стороны, разложение экспоненты имеет вид ? *k - hk (1 -f-где
члены более высокого порядка входят в Ф&4), а
Sft = 2 pi | Iя-
3=1
