Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
дН о
дх.
Ф о
удовлетворено, и теорема Колмогорова применима.
Интересно отметить, что если выписанное выше условие выполнено, то
существует функция F - Ф (Я) = Ф (Но) + е..., такая, что функция Ф (Но)
невырождена в обычном смысле. В качестве примера можно взять функцию
Я2 = -L
-j + ах.2
и в результате получить det{d2F0/dxidx]} Ф 0.
в) Устойчивость положения равновесия и периодических решений в системе
с двумя степенями свободы в общем эллиптическом случае. Важным
приложением является круговая ограниченная задача трех тел (см. работы
Арнольда [1] и Леонтовича [27]). Наилучшее решение этого последнего
вопроса было дано в работе Депри [ 17]1), которые использовали важные
работы Мозера [32] и Гельфанда и Лидского [19] 2). В окрестности такой
эллиптической точки гамильтониан может быть записан в виде
Н = о ixk + lilt) + #з +
h- 1
Если > 0, то устойчивость гарантируется тем, что квадратичная форма Я2 в
Я будет знакоопределенной3), хотя это ус-
') Окончательное решение задачи об устойчивости лагранжевых решений
плоской круговой ограниченной задачи трех тел получено в работах [23*],
[24*] (прим. ред.).
2) В действительности упомянутые работы Мозера и Гельфанда и Лидского
не имеют непосредственного отношения к исследованию, проведенному Депри
(прим. ред.).
3) В этом случае устойчивость устанавливается на основании теоремы
Ляпунова об устойчивости, если за функцию Ляпунова принять
знакоопределенный гамильтониан Я, полная производная которого в силу
уравнений движения равна нулю (прим. перев.).
170
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
ловие и является только достаточным. Для доказательства устойчивости в
случае coico2<l0 функция Н приводится к нормальной форме до членов
четвертой степени, что, в соответствии с результатами Биркгофа [11],
можно сделать, если лам+угсог^О при ОС 17i | -f" | /21 ^4, или если
|<"i/<B4| при р, д = 1, ...
..., 4. Укороченная нормальная форма в этом случае будет иметь вид
н=2-j- <°j (xf+yf)+2 2 №+у*)+ ¦¦¦
j=i k=i 1=1
Тогда теорема Арнольда утверждает, что:
Если для системы уравнений, соответствующей функции Гамильтона Н,
Рц Pl2 И1
Р21 Р22 ^>2
со, со, 0
то положение равновесия xh = yh = 0 (к = 1, 2) устойчиво.
Это условие в точности соответствует общему условию невырожденности в
четвертом приближении, которое получили Мозер [33] и Арнольд [6] при
решении задачи о существовании инвариантных кривых для возмущенного
закручивающего отображения и при доказательстве теоремы Колмогорова о
сохранении условно-периодических движений соответственно. Распространение
этой теоремы на случаи большей размерности для получения таких же
результатов, что и в системах с двумя степенями свободы, невозможно.
Геометрическая причина этого заключается в том, что промежутки между
торами размерности больше двух в общем случае не являются ограниченными
областями. В действительности можно построить примеры, когда таки',
положения равновесия эллиптического типа являются неустойчивыми1).
Распространение результатов Колмогорова на случай вырожденных систем было
дано Арнольдом по крайней мере для двух простых примеров: в классической
задаче получения условнопериодических решений из периодических
невозмущенных орбит [2] и в вырожденной задаче взаимодействия двух планет
[4]. В первой задаче он рассматривал движение точки (у 1, у2) на торе Т2.
Это движение будет условно периодическим, если
-йг - ^ (3-6.2)
') Простой пример гамильтоновой системы такого рода см. в работе [25*]
(прим. перев.).
6. ЗАМЕЧАНИЯ
171
где Л - иррациональное число. Близкая система (возмущенная)
дифференциальных уравнений на торе может быть записана в виде
& = Я + а + е/("1,й), (3.6.3)
где а, е - параметры, а функция f(yi, У2) предполагается аналитической.
Теорема Колмогорова в этом случае подразумевает, что если возмущение
e/(j/i, у2) достаточно мало, то можно найти такое а = а/(е), что при
соответствующей замене переменных уравнение (3.6.3) примет вид (3.6.2).
Это и было показано Арнольдом в работе [3]. Вопрос о вырождении здесь
возникает тогда, когда К = 0 (или рационально), так что невозмущенное
движение является периодическим и происходит по окружностям Ух = const. В
случае иррационального К приведение (3.6.3) к виду (3.6.2) использует тот
факт, что величина пК + т может быть ограничена снизу с помощью
неравенства
\п%-\- т\ >> К\"к\п~2 (3.6.4)
для всех целых т п п ф 0. Арнольд показал, что если Л(.ЙГ) есть множество
всех К, удовлетворяющих условию (3.6.4), а Л - объединение всех А(К) при
К >> 0, то предельная точка множества Л при К из интервала (0, 1/4) есть
нуль, и нуль является также точкой накопления Л. Арнольдом установлены
две следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть на торе Т2 дано дифференциальное уравнение
dyjdy2 = ef(yu у2), (3.6.5)
где е - параметр, a f - аналитическая функция. Пусть точки yi + 2я и у2 +
2я отождествлены с точками у\ и у2, а
2Я
j / {Уи Уг) dy2 > О
о
для всех уь. Тогда для всех достаточно малых 1еА(^) можно найти е(Х) и
