Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, в векторной форме
V = А? + ф(4\
A=diag {A,i(l+f6i), .. ., A,"(l+t6n)}.
(4.1.22)
При п = 1 это преобразование удовлетворяет теореме Биркгофа о неподвижной
точке. Распространение этой теоремы на случаи п > 1 не является
справедливым. При числе степеней свободы п - 2 для консервативной системы
существуют случаи, когда теорема может быть верна. Например, когда
гамильтониан периодичен по одной из переменных.
2. Области движения.
Возмущения укороченной нормальной формы Биркгофа
Исследование асимптотического поведения решений гамильтоновых систем
включает в себя, в частности, изучение областей возможного движения,
инвариантных множеств, соответствующих некоторому множеству начальных
условий. Эта задача является также частью задачи об устойчивости таких
решений. Решения, которые рассматриваются в этом случае, являются
периодически' ми или условно-периодическими. Введем ограничивающее
определение, полезное для наших целей: функция z(t) = <p(0i,..., 0")
является условно-периодической, еслп
а) функция ф периодична по каждой из (к- 1,..., 2);
б) функция ф обладает некоторыми свойствами регулярности, например,
принадлежит классу Ср, или С", или является аналитической;
13 Г. Е. О. Джакалья
194
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
в) 0* = -f- ак (к = 1, ../г), где ah, ык - постоянные;
П
г) 2 Ркык ~ 0> где р\,...,рп - целые числа, тогда и только А = 1
тогда, когда р\= ... =рп - 0 ').
Как мы уже видели, если система с хамнльтопиаиом II (х, у) является
интегрируемой в смысле Лиувилля, то в общем случае движение будет
условно-периодическим, и соответствующее инвариантное множество состоит
из /г-мерных торов, параметризованных угловыми переменными цк = mkt -f-
ак (fc=l,..., и), где все соь линейно независимы на множестве целых
чисел. Это эквивалентно существованию такого канонического преобразования
(х,у) ->-(s, il). что новая функция Гамильтона, выраженная через
переменные 1, 1], будет зависеть только от переменных 1 (т. е.
ОТ gi, . . ., gn).
Это преобразование может определяться производящей функцией Гамильтона -
Якоби S (|, у), такой, что
Лй ^Vk'
и, следовательно,
Ik (я, У) = const (к = 1, ..., п)
и
Л* ((r), У) = Hlk (х (1, л), у (I, л)) = (о., (|) = const
или
Г]к = сoht + а*.
Траектории при этом остаются на некоторых "-мерных торах. Изменение
начальных условий ук будет менять только начальные фазы г)ь(О), а сами
торы не изменяются. Изменения начальных условий для xh приведет к
изменению частот соь или к изменению "радиусов" торов, т. е.
?i,..Действительно, функция W должна удовлетворять уравнению
trfdW dW \ ,* t \
\дУг ' ' -,<V Уп • - - 'УПJ - a(h, ?nb
так что энергия зависит только от ?i,..., н любые изменения начальных фаз
ah не влияют на значение энергии.
Условно-периодические движения обладают следующими важными свойствами.
>) Величины о)ь..., соп называются базисными частотами условно-
периодической функции z(t) (прим. перев.).
2. ОБЛАСТИ ДВИЖЕНИЯ
195
1) Траектории всюду плотны иа торах. Это означает, что для любой
заданной области D точка (x(t),y(t)) такова, что существует конечное
время t= т, для которого (х (т), у (т)) е D.
2) Траектории на торах равномерно распределены, т. е. вре^я At, в
течение которого точка остается в области Z), пропорционально мере
области D для достаточно больших At. Другими словами, для любой функции
F(yu ..., уп), где yh=ti>ht-\-ah, R-интегрируемой на торе, среднее
значение по времени равно частному среднему зпачепию по фазовым
переменным
т
lim - \ F (wjt + "1, • ¦ •, wnt + "") dt --= т-~> т .1
2л
= (2^0" I " ' J F (J/1' - dVn-
о о
3) Существуют значения ii, такие, что для некоторых
не равных одновременно нулю целых чисел рi, ..., рп справедливо равенство
V
Z Рь ж k-l ь
= 0.
-5*
В этих случаях решение системы уравнений является периодическим. Таким
образом, периодическое решение связано с существованием неподвижной точки
сохраняющего площадь отображения, так что решение вопроса о существовании
периодического решения сводится к изучению таких особых точек. Более
того, аналогичные утверждения справедливы и относительно свойства
устойчивости.
Как мы видели, в окрестности неподвижной точки эллиптического типа можно
определить инвариантные торы с помощью возможного усечения нормальной
формы Биркгофа. Нормальная форма показывает, что в окрестности точки
эллиптического типа каждая инвариантная окружпость радиуса г с центром в
начале координат (которое является неподвижной точкой) отображается на
себя посредством преобразования кручения
а (г) = ао + а{г + "гг2 + ...
Если рассматривать возмущения, оказываемые отброшенными при нормализации
членами, то основная задача состоит в определении того, что происходит с
инвариантными окружностями (или торами). Из теоремы Колмогорова [17]
следует, что большинство окружностей не разрушается, а лишь слегка
деформируется. 13"
196
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
Неподвижная точка, следовательно, окружена замкнутыми аналитическими
