Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
доказательство сходимости можно провести так же, как это сделал Зигель
[40] при доказательстве сходимости процеду-
5. ЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
163
ры построения периодических движений, определяемых теоремой Ляпунова,
однако такое доказательство для общих случаев не-
важно отметить, что упомянутые выше предположения для уравнения Ван дер
Поля
В заключение этой главы рассмотрим пример неавтономных линейных
возмущений. В частности, мы будем иметь дело с уравнением
где F(t) =F(i+2n) для всех t и F(t) является аналитической функцией для
всех конечных t и имеет нулевое среднее значение. Проблемы, связанные с
этим уравнением, были детально изучены сначала Чезари [16], а затем
Гэмбиллом [18], Хейлом [21] и некоторыми другими авторами2). Здесь эту
задачу мы будем рассматривать с помощью методов теории возмущений,
специально приспособленных для ее решения, но отличающихся от методов,
рассмотренных выше в § 9 главы II.
Введем преобразование
уже рассмотренную для автономного случая. Далее, рассмотрим
преобразование
') В мучав, когда все Re А* имеют одинаковые знаки и выполнено
условие (3.4.32), доказательство сходимости проведено Пуайкаре [88.2].
Доказательство сходимости при невыполнении условий (3.4.32) проведено
Дюляком [21*] (прим. ред.).
2) Подробную библиографию работ, носвященных исследованию таких
систем, см. в [22*] (прим. перев.).
известно 1).
z + (02Z = е (1 - z2)z выполняются при со > s/2.
5. Линейные периодические возмущения
z + сo2z = &F(t)z,
(3.5.1)
и получим систему
(3.5.3)
я = 1 + еу(л, t, 8) + бУ(л, t, е)1, у - л + еи(л, t, е)
(3.5.4)
11*
164
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
и покажем, что существуют 2я-периодические по у и t функции v, V, и,
такие, что уравнения (3.5.3) приводятся к виду
при | = 0. Это позволит определить характеристические показатели Хилла в
этой задаче. Следуя той же процедуре, что и в предыдущем параграфе, легко
находим
Предположим, что из уравнения (3.5.6) можно определить величину К и 2я-
периодическую по t и т] функцию и. Тогда правые части уравнений (3.5.7) и
(3.5.8), поделенные на у и 1 + еУ соответственно, будут известными 2я-
периодическими функциями t и г]. Если v и 1 + еV удовлетворяют одинаковым
начальным (или граничным) условиям, то, очевидно,
С другой стороны, взяв частные производные по т] от обеих частей
уравнения (3.5.6), находим
Отсюда вытекает, что уравнение для 1-^-вди/дх\, правая часть которого
берется со- знаком минус, такое же, что и уравнение (3.5.7) или (3.5.8).
В частности, отсюда следует, что необходимо выпол-
rj=Q(e, (c))
(3.5.5)
e(QU+Щ=ю -Q - rsin* fa+ем)F (*)•
8 (Q щ+5)=?v sin fa+6u)cos fa+бы>F (*)>
8 (Q ц + w)= ? (* + eF)sin ^ + ш)cos fa + m)F
Отсюда, полагая ca - Q = еЛ, получаем
QJ\ + ft =? "sin (2r\ + 2eu)F(t), (3.5.7)
v = 1 + sV.
(3.5.9)
т. e.
т. e.
5. ЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕЙЙЯ
165
нение равенства
In ^1 + + In v = f (л - Qt),
где / - произвольная функция. Положим / -1п[?(л-Qt) ], так что
(l + e|?)i, = *(4-Qf), (3-5.10)
где g - произвольная функция. Если удастся найти функцию, и (Л, 0. то с
помощью алгебраических операций легко получатся функции v и 1
+ еУ, но с точностью до некоторой произвольной функции. Если
функция и является 2я-периодической по л
и f и требуется, чтобы этими же свойствами обладали функции у и У, то за
функцию #(л-Ш) необходимо принять какое-нибудь постоянное число, если
только величина Q не окажется рациональной. Тем не менее, как мы вскоре
увидим, этот последний случай надо исключить из рассмотрения, если
функцию и необходимо Определять из уравнения (3.5.6). Следовательно,
необходимо, чтобы
у ^1 + e-^-j = &(е, ю) = const. (3.5.11)
После учета этого равенства преобразование (3.5.4) при 1 = 0 принимает
вид
х = еу(л, t, е), у = л + еи(л, t, е)
или
х = EV(Qt + Ло, t, г), у = Ог+ло+еи(?2*+Ло, t, е), (3.5.12)
где и, v - 2я-периодические функции по л = ^ + Ло и t. Эти функции не
могут быть периодическими по t, если только не исключить случаи, когда
величина Q является рациональным числом. Принимая во внимание (3.5.2) и
(3.5.12), легко видеть, что
z - a(t)cos Qt + P(f)sin Qt,
так что в действительности величина О является характеристическим
показателем Хилла. Применение описанного метода к уравнению Хилла в
работе Джакальи [20] показало его преимущества по сравнению с
классической процедурой вычисления бесконечного определителя.
Таким образом, осталось показать, что из уравнения (3.5.6) можно
определить величину К = ^(?2, со, е) и 2я-периодическую
166 гл. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
по т] и t функцию и(т], t). Действительно, рассмотрим разложения
и = и0 + e"i + е2"г +. •
% = %о ~Ь 6^,1 -j- е2Я,2 Ц- ...,
где
= t) = uA(ri +2я, *)'=ц*(т), t + 2я)
и
2Я 2л
J dt j" uhdy\ = 0.
о о
Для коэффициентов при е° находим
QI?+%*=*¦" -4-sin2 ^ (*> (3-5-13)
и, следовательно, Я,о = 0. В силу сделанных предположений, можно написать
*¦(*) = 2 Fo=0,
h
что дает возможность определить щ при условии, что
