Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
замену переменных z = z%{y\, у2), аналитическую по yi и у2, такие, что
уравнение (3.6.5) приводится к виду
dz/dy2 = Я.
Множество г (К) при А имеет положительную меру и нуль является точкой
накопления множества.
172 ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
Для доказательства теоремы к уравнению (3.6.5) применяется классическая
процедура усреднения, и оно приводится к виду
*?1 = гс + МЩ\ у2, г). (3.6.6)
После того как такое приведение осуществлено, рассматривается следующая
теорема.
Теорема 2. Теорема 1 справедлива для уравнения (3.6.6) на торе Т2, где с
- постоянная, a F(yu у2, е)-аналитическая функция.
Теперь видно, что получена квадратичная сходимость. В конечном счете это
приводит к тому, что
X = ес + е2с + ... и после ге-кратного применения процедуры усреднения
получаем
^А- = ес + е2с + ... + е2> (sf0, у2, г).
В общем случае, если |e2F| С М < |ес|64, то после преобразования новая
функция FHов удовлетворяет неравенству
I e2FH0в | <
Величину б >* 0 можно выбрать так, что
in
II <Мп = М3,
а это и обеспечивает сходимость.
Для примера рассмотрим уравнение
-%- = е/(*,?),
и пусть среднее значение функции
2л
=2^1 f Яйх = /• (у)>0
О
для всех 0 ^ у г? 2п. Определим также /Р = / - /, = fp(x, у) и рассмотрим
замену переменной
У1 = У + гк(х, у).
6. ЗАМЕЧАНИЯ
173
Отсюда следует, что
^ = е/8(у) + е/Р (х, у) + e-g- + e2-|j- f(x, у).
Выберем
X
h(x, у) = - j /р (i, y)dl.
о
Следовательно,
% = е/8 Ы + е> (ж, уи е).
Наконец, определим новую переменную
где постоянная с определяется из условия ^г(2я) - jte(O)-2я,
Условие f,{y)~>0 имеет очевидный смысл и необходимо для существования
последнего интеграла. Для у2 получаем, наконец, такое уравнение:
Можно привести очень много примеров, использующих идеи, содержащиеся в
теореме Колмогорова. Тот вид (3.2.3), который, как мы предположили, имеет
функция Гамильтона Н, является немного менее общим, чем в оригинальном
изложении Колмогорова, а условия невырожденности, получающиеся при этом,
могут быть сделаны более наглядными и напоминают разложение гамильтониана
в окрестности положения равновесия или периодического решения.
Действительно, приведение к системе, обладающей инвариантными
многообразиями в виде то-
т. е.
? = вс + г*Ъ{х, У2. е).
Повторив процесс, получим
= ес' + 640 {х, г/з, 8)
и т. д.
174
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
ров, очевидно похоже на нормализацию Биркгофа функции Н. То, что
процедура мажорирования не может быть использована для эффективного
доказательства сходимости последовательности канонических преобразований,
определенных в лемме 1, не подлежит сомнению, и в действительности
Арнольд и Мозер смогли обойтись без мажорирования. Гораздо более важным
вопросом, требующим особого рассмотрения, является то, что обычно задача
вырождена и, следовательно, не годится ни теорема Колмогорова, ни теоремы
Мозера, которые будут обсуждаться в следующей главе. Если п - число
степеней свободы, то отсутствие т<1п переменных действие в гамильтониане
невозмущенного движения эквивалентно наличию т линейных связей между п
ненулевыми частотами, определяемых соответствующей невозмущенной
системой. Только что рассмотренный пример представляет собой первое
удачное приближение к решению этого вопроса, хотя проведенное Арнольдом
изучение отображения окружности на себя, начатое в работе [3], уже
содержит в себе идеи, необходимые для решения вопроса в общей постановке,
что и было затем сделано в работе [7].
Для системы с п степенями свободы существование одной целочисленной
линейной связи между невозмущенными частотами соответствует наличию
одного типа малых делителей при классическом использовании метода
Пуанкаре. Существование п-1 таких связей соответствует невозмущенному
периодическому движению. В обоих случаях можно показать существование
условно-периодических движений при наличии аналитических и достаточно
малых возмущений. Отсутствие некоторого числа переменных действие в
невозмущенном движении, согласно Арнольду, называется собственным
вырождением, и такие случаи, за исключением линейных, являются наиболее
общими в физике. Для случаев собственного вырождения известен основной
результат, полученный Арнольдом и справедливый также в общем случае
независимо от числа отсутствующих в Но переменных действие. В работе [4]
по классической теории возмущений Арнольд привел пример, в котором
встречаются вместе все известные трудности, которые могут помешать
сходимости в классических теориях, подобных методу Линдстедта - Пуанкаре.
Рассматривалась задача взаимного влияния планет с иррациональными
средними движениями (средняя угловая скорость движения вокруг Солнца).
Случай рациональных средних движений может быть рассмотрен аналогично,
что и было в действительности обнаружено в работе Мозера [35]. В плоском
случае задача имеет четыре степени свободы, гамильтониан нулевого порядка
(описывающий кеплеровское взаимодействие) зависит только от двух
