Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
описания иевозмущенного движения необходимо меньше частот, чем для
описания возмущенного движения.
Для общих линейных систем, рассмотренных в четвертом (уравнение (3.4.17))
и пятом (уравнение (3.5.3)) параграфах, наиболее ранние результаты были
получены Боголюбовым [13] и дополнены Митропольским [28]. Новые
результаты в этой области были получены Мозером [34] и затем улучшены в
замечательной работе [35] того же автора.
Боголюбов [12] установил следующую теорему.
Теорема. Если Re -^<0 и 8 достаточно мало, то
система
где Q = diag(Qi, ..., Qn), имеет почти-периодическое решение,если g(t, у,
е)-почти-периодическая функция. Если g(t, у, е)- условно-периодическая
функция с базисными частотами coi,..., со* и аналитическая, то таким же
будет и решение этих уравнений.
Как мы уже видели в этом разделе (уравнение (3.6.3), теорема 1), система
У - &У + e,g(t, у, г),
(3.6.7)
X - О) -{- % в/ (X, 8, А")
12 г. Е. О. Дшакалья
(3.6.8)
178 гл. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
допускает решение для А.=Це) вида
х = at + с + ей (cat + с, е),
где с -соответствующим образом подобранный постоянный вектор с=(с1, сп).
Это утверждение было доказано Арнольдом.
Основная теорема Боголюбова сводит воедино оба этих типа систем й может
быть сформулирована следующим образом.
Теорема (Боголюбов [12]). Если для системы дифференциальных уравнений
(3.6.9)
x^a + l + ef (х,у,1, е),
у = Qy + еg(x,y, Ь, г) предположить, что
\М>Ч\П~\ ReQh<-v<0, (3.6.10)
то существует к=к(е), такое, что система обладает п-парамет-рическим
семейством условно-периодических решений
х = Ш + с + ей (сat + с, е), у = ev (at + с, ё),
где все рассматриваемые функции аналитичны по всем входящим в них
аргументам.
Вектор х предполагается n-мерным, а вектор у - яг-мерным. Мозер [34]
показал справедливость этих результатов для случая, когда / и g
дифференцируемы, сведя задачу к исследованию потока на торах. Однако он
пошел еще дальше и доказал следующую теорему.
Теорема. При условиях.
| iifa) - Q J > у | j р, j = (/ь ..., /п),
I г(А>) - (r)h + (r)i\>y\j\~X (*, 1= 1, • • •, п)
существуют 'k='k(e), ц = ц.(е), М-М(е), аналитические по 8,
уничтожающиеся при е -0 и удовлетворяющие условиям
Q*p. = 0, MQ*-Q*M=0,
где * означает транспонирование, такие, что система уравнений
а? = и> + Ь + е/(а?,у,е, Ь.р), (3 611)
У = &У + ^ + Му + eg (х, у, е, I, ц),
6. ЗАМЕЧАНИЯ 179
где х- п-мерный, а у- т-мерный векторы, f,g- аналитические по всем
аргументам и 2п-периодические по Х\, ..., хп функции, имеет условно-
периодическое решение с частотами ю, Q.
Это означает, что существует такое аналитическое преобразование
(r) = 1 ~Ь (li е), /о 6 *2)
у = ТЦ- 8Р (1, 8) + eV (I, 8) Т],
что выписанная выше система (3.6.11) принимает вид
%=&+0(ц), Kl-Qti-fO (т]2).
Уравнение Хилла. В качестве примера того специального случая, с которым
мы имели дело в § 5, рассмотрим уравнение Хилла
z + co2z = 2e2z 2 "ft c°s 2/ст, (3.6.13)
ft> l
где
(0 = 1_|_8_|.82 + |.83 + о (е4).
Введем замену переменных
z = sin у, z = |/"2а>х cos у
и получим
X = 82" 2 "ft [sin 2 (у + *т) + sin 2 (у - /ст)], h> 1
(3.6.14)
у =а>- е2-^ 2d "ft [2 cos 2/ст - cos 2 (у + /ст) - cos 2 (у - /ст)]. К^1
Теперь найдем преобразование координат вида (3.6.12), т. е. x=|+eZ(ii) т,
e)+e5'(ii, т, е)|, г/ = 11+еУ(11, т, е),
и приведем уравнения (3.6.14) к форме
i=0(!2), ч=й+0(6),
где для некоторого Я,
?2="в-еЯ,(е, "в), |/Q-А| 5= е'|/|-°
при выбранных соответствующим образом е' и а.
12*
180 ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
•Зигель [41] показал, что при 0<?2<1 множество значений Q, которые не
удовлетворяют выписанным выше условиям (к, / - целые числа и ]?=0), имеет
меру, меньшую чем 2пе'(1+в')/ 3.
В соответствии с уравнением (3.5.4) и утверждениями, приведенными в конце
§ 5, положим
^ = 2 Yh = 2 Y(hp'q) ехр i (pT) + gr),
k>0 p,q
Y- 2 X = (l +
ft>0 \ 1 !
Уравнения для определения Yk при к - 0, 1, 2, ... имеют вид
дУ. дУ.
Q+ -fa = + Gk (к0, ..., Kh-i, г), т), (3.6.15)
и мы определим величину Кк как среднее значение от -Gk по отношению к г|,
т. Действительно, легко видеть, что Gh в (3.6.15) по предположению имеет
вид
Gh = 2^р,9)ехр [i(pr\ + дт)],
Р,<1
так что в силу сделанного предположения об иррациональности Q имеем
я(р.в)
'i __ /-*(0,0) \r(P,Q) _ h
Ль------Ьь , I ъ---------------I •-------
для всех p, q, не обращающихся одновременно в нуль. В случае уравнения
Хилла (3.6.13) находим (см. [20])
А,0 = К = А* = 0 Я, = 2250
16<в2 (Q2 - 1) ' Следовательно,
225e4Q
16ш2
или, подставляя значение со, получаем
Q=l + 8-4e2-ge* + <9(8*),
что совпадает с выражением для со (см. [15], стр. 276), полученным при
вычислении бесконечного определителя последовательными приближениями от
главной диагонали. Здесь исполь-
6. ЗАМЕЧАНИЯ
181
зованы те же обозначения, что и в работе автора [20]: х=t-10, г = т-п-п',
где величины t, ta, п, п' определены в работе Брауна [15].
Для изучения общих методов построения условно-периодических решений
нелинейных уравнений рассмотренного выше типа с помощью сходящихся
