Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
у = г) + eu(ri, е) = у(ц, г),
что уравнения (3.4.14) сводятся к уравнениям
1 = 0(е"), л = (r) + 0(1). (3.4.16)
Положив 1 = 0, мы, очевидно, сведем уравнения (3.4.16) к линейной
интегрируемой системе.
Рассмотрим более общую систему уравнений
х = ?2 4- Мх + sg(x, у),
' (3,4.17)
у = со + Х + гЦх, у),
и будем считать, что существуют такие постоянные ?2, М, X, зависящие от
е, со, что система (3.4.17) сводится к системе
(3.4.16). Решение этой задачи будет возможно, если систему алгебраических
уравнений
C2(s, (c)) = М(е, (c)) = 0, (3418)
со = со + к (г, со)
можно решить для данных (c) и е из некоторого интервала 0 < г < ео. Мы
предположим, что функции v, V, и являются пе-
4. ВОЗМУЩЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
159
риодичеекими с периодом 2я по г), аналитическими по в и г) и имеют
нулевое среднее относительно т). Более того, мы предположим, что
существуют формальные ряды
X = еХ\ -j- e2ta • • •)
М=гМ1 + г2М2 + ..., (3.4.19)
0=80; + g2Q2 + . . .
В силу сделанных предположений об аналитичности можно записать
v = Vo + ev\ + е21>2 + • ¦
v= Fo + 8F, + 82F2 + ..., (3.4.20)
и = Щ + ей 1 + е2Ц2 + .. .,
где коэффициенты vk, Vh, uk (к = 0, 1, .. .) раскладываются в ряды Фурье;
например,
vh = 2 vhJ-e1^, vhj = const.
3
Из второго соотношения (3.4.15) следует, что
' ди '
У = П+
и, сравнивая это уравнение со вторым соотношением (3.4.16), имеем
=со + X -f г), е), у (ц, е)). (3.4.21)
Из первых соотношений (3.4.15) и (3.4.16) получаем г , дв ' . dv Т7?;
= Q + М (| + еи f eFg) + eg (х (?, г|, е), у (л, е)). (3.4.22)
Дифференцирование этого уравнения по | дает
i I I л; LpT/i_
д\ + 6 дц д? + 8 дг\ ^ + 8 дг) ё д1 8 -
= M(l + eF) + s||. (3.4.23) Считая уравнения (3.4.16) выполненными при
|=0, из (3.4.21),
160 ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
(3.4.22) и (3.4.23) получаем
m^ = X + ef (еу, л + ей),
m^ = Q + sMv + Bg(&v,T] + &u), . (3.4.24)
( 1 + eV) + е||(еу, т) + eu) (1 + еУ).
Осталось показать, что из (3.4.24) можно получить функции
и, v, F, определяющие нужным образом величины М и й, Ис-
пользуя (3.4.19) и (3.4.20), для членов порядка 0(e) получаем уравнения
= ь / (°. л)-О) ^ -=¦ Qx ~f ? (0, Т]), (3.4.25)
71/Г | /Г\
- Л/1+ а|(°> Л/-
В силу сделанных предположений имеем
1(1,У]) = У^и(1)е1кГ] (кф 0), h g(^,vi)=Ilgh{l)em (кф 0), h
b ft
Полагая
ыо = 51 ф 0),
k
из первого уравнения (3.4.25) получаем
2л
^1 = - /о (°) = - 2^Г j ^ (°' ^ ЙТ1 = const>
о
К (°)
иок = -2- = const, гсо.
я
Аналогичным образом находим
2Я
Й1 = - ?0 (°) = - 2^ \ 8 (°> л) = const.
о
(0)
= ~й^- = C0nSt
4. ВОЗМУЩЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
161
2л
= Ц (0, л) *1 = const,
о
Foft = S.k -- = const.
0А ICO, h
В общем случае нетрудно показать, что уравнения для членов порядка е* (к
= 2, 3, ...) имеют вид (3.4.25), т. е. в результате получим
ц = (Of + rv,,
ОО
? - еу (т), s) = s 2 2 8
ooft=0 j (3.4.26)
г/ = (oi + ti0 + 2 2 eftuJJeijc<at+T|,>>
ft-0 j
и, следовательно, учитывая (3.4.13), можно заключить, что мы нашли
периодическое решение (§ = 0) уравнения (3.4.12), обобщенного нами для
того, чтобы можно было учесть члены, получающиеся при подстановке
(3.4.14) в (3.4.17). Сходимость метода оказывается возможной, если
предположить, что величина | со | не слишком близка к нулю, и если
предположить сходимость выражений (3.4.20) (см., например, [34]).
Типичным примером рассмотренной задачи является система автономных
уравнений
zi = z2, z2 = -(o2zi +sZ(zi, z2),
в которых функция Z является полиномом относительно z\ и z2. Эти
уравнения можно переписать в виде
г1 : : ^2,
Zi = (s(Ol - (D2)Zi + S(02Z2 + &P2 (Zl, Z2) ,
где P2 - полином, начинающийся с членов не ниже второй степени.
Предположим, что собственные числа задачи, определяемые уравнением
- X 1 ещ - ш? еш2 - X
= 0,
различны, т. е. со2 ф е(c)х s2(o|. В этом случае линейная часть может быть
приведена к диагональному виду с помощью И Г. Е. О. Джакалья
162
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
линейного преобразования
z = Вх, \В\фО, получающегося при условии, что
Б-'АВ = Л = (о* ?),
где А - матрица линейной части уравнений.
В результате преобразования получаем
х = Ах + еВ~1 j = Лж + g (х), (3.4.27)
где функции gh (к = 1, 2) являются полиномами относительно х\, х2,
начинающимися с членов не ниже второго порядка.
Посмотрим, при каких условиях существует преобразование
X = ФЫ = У + Ф*(у), (3.4.28)
приводящее уравнения (3.4.27) к линейному виду
У = Ау, (3.4.29)
т. е. к виду Ук - ^кУк (к = 1, 2). Пусть функции срй являются степенными
рядами относительно уi, у2, а разложение функции
*
начинается с членов не ниже второго порядка.
Используя выписанные выше соотношения, получаем такие уравнения
относительно ф:
|2 Ау = Лф + g (ф). (3.4.30)
Учитывая вид функций g, легко проверить, что уравнения
2
2 ХьУь = (ф1. Фа) (3.4.31)
h=i ук
при п= 1,2 дают коэффициенты функций ф, если только
ZKPk-^Ф 0 (7 = 1,2), (3.4.32)
Ь=1
где pi и рг - целые неотрицательные числа, а р\ + рг 5s 2.
Если вещественные части величин А* имеют одинаковые знаки, то
