Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Джакалья Г.Е.О. -> "Методы теории возмущений для нелинейных систем" -> 51

Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.

Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем — М.: Наука, 1979. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): metoditeoriivozmusheniya1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 109 >> Следующая

155
4. Возмущение линейных колебаний
Рассмотрим гамильтониан
Н=Н(х, у), (3.4.1)
где х, у - канонически сопряженные векторы импульсов и координат
размерности ге, и пусть Н - вещественная аналитическая функция в области
D 2/г-мерного фазового пространства. Предположим, что х, у - вещественные
переменные, а точка (0, 0) еD - изолированное положение равновесия
системы
xk = yh = Нxh (A; = 1, ..., re). (3.4.2)
Предположим также, что
при х=0, у =0. По предположению функция Н раскладывается в ряд Тейлора в
некоторой окрестности точки (0, 0), так что
(3.4.3)
где 11 р - однородные полиномы степени р относительно xt, . .., х", i/i,
..уп. В дальнейшем предположим, что все собственные числа квадратичной
формы II2 различны между собой. Обозначим их через %i, .. ., А,", -Xj,
..., -Хп. Тогда существует линейное симплектическое преобразование,
приводящее (3.4.3) к виду
Н = 2 XkXhYk + tf3 (X, Y) + Н, (X, Y) +- ... (3.4.4)
fe= i
Введем новые переменные по формулам
г1к-Хк, srii=Fft (/с=1, .. ., ге), (3.4.5)
где 0 < е < 1. Уравнения (3.4.2) теперь можно переписать так:
ё dF ' dF ,Q / п\
dT)h' dlh' (3.4.6)
где
П
^ = 2 а*?кти + еЛ($,1,,е), (3.4.7)
а функция F1 является степенным рядом относительно §ь, т]*, в,
начинающимся с членов третьей степени относительно |л, т]*.
156
ГЛ. XII. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
Собственные числа могут быть вещественными или комплексными. Здесь мы
будем предполагать, что точка (0, 0) является положением равновесия
эллиптического типа, т. е. все Xt - чисто мнимые. Мы также определим
где вещественные числа со* могут быть положительными или отрицательными,
но не нулевыми1). В этом случае коэффициенты функции Fl будут чисто
мнимыми, и мы можем написать2)
где Н1 - степенной ряд относительно |4, г)Л с вещественными
коэффициентами, и он начинается с членов третьего порядка относительно
|t, Tifc.
После применения канонического преобразования
где функция Н\ периодична по каждой переменной vk с периодом 2я, а ее
коэффициенты ряда Фурье являются полиномами относительно щ, ..., ип3).
]) Знаки величин ч>и выясняются на этапе линейной нормализации (прим.
перев.).
2) Это утверждение автора ошибочно. Например, квадратичная часть
1 г-
гамильтониана Н = <о (х2 + у2) + 2 у 2 х2у в окрестности нулевого
положения равновесия имеет чисто мнимое собственное значение i(0, а тем
не менее,
1 1 записанный с помощью преобразования х = (X + iY), у = у= (IX + У)
через переменные X, Y гамильтониан имеет вид Я=1СоХУ+(Х2+У2) (-У+ +;Х),
т. е. не все его коэффициенты являются чисто мнимыми. Чтобы утверждение
автора стало верным, исходный гамильтониан должен обладать некоторыми
специальными свойствами (прим. перев.).
3) Эти полиномы обладают некоторыми специальными свойствами; см.
(5.2.11) (прим. перев.).
К = ia>k (А = 1, ..re).
(3.4.8)
или
(3.4.9)
(3.4.10)
Этим уравнениям соответствует функция Гамильтона
71
Н = 2 ЩЩ + гНг (и, v, г),
h= 1
4. ВОЗМУЩЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
157
Следовательно, задача построения решений в окрестности положения
равновесия сводится к изучению возмущений интегрируемой системы
дифференциальных уравнений, которая соответствует гамильтониану
П
Но = 2 <ofeufe. fc=i
Теоремы, сформулированные в предыдущих параграфах, к этой задаче
неприменимы, так как
С другой стороны, может оказаться, что функция
2Я 2л
(2л)
о о
равна нулю и, более того, частоты нормальных колебаний со* могут
оказаться линейно зависимыми на множестве целых чисел. Однако в общем
случае этого не будет. Именно с этой проблемой мы будем иметь дело в
следующей главе, в которой строятся формальные ряды, являющиеся решением
системы (3.4J0).
Важно отметить, что упомянутая проблема является частным случаем
классической задачи о возмущениях линейных осцилляторов, т. е. задачи
исследования уравнений (А = 1, . .., п)
Ч + = s/ft (х, х, г).
Эти уравнения легко приводятся к виду
uh = zUh, vk = со* + sVK
с помощью преобразования
хи + Uakxk = uketVh,
т. е.
хк - ик cosvh, (r)кхк = ик sin vh, (3.4.11)
где xh, хк (й=1, ..п) - вещественные величины. Это и есть очень важная
задача о возмущенных линейных колебаниях. Авторами основных результатов в
этой задаче были: Крылов и Боголюбов [6], Ван дер Поль [42], Боголюбов
[12, 13], Митропольский [28], Арнольд [1] и Мозер [29, 30].
158
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим сначала автономный случай дифференциальных уравнений
z + (c)2z = eZ(z, z), (3.112)
где функция Z предполагается аналитической по z, z в некоторой
области фазового пространства (z, z) и по е при 0 < с < 1. Частота (c) -
вещественная п постоянная. С помощью преобразования
z=j/^sini/, z = У Lax cos у (3.4.13)
это уравнение переходит в уравнения
j/^ cosyZ* (х,у) = eg (г, у),
х ~ г
" . (3.4.14)
= - z-^=Z*(x,y)==(r)+ е/ (ж, г/),
У 2сож
и будем считать функции g и / периодическими по j с периодом 2я. Мы
попытаемся получить такое преобразование (см. [34])
* = 1 + еу(т), е) + еУ(т1, е)1 = ж(|, ц, г), ^ 4 lg
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 109 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed