Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
б) Неподвижная точка х является неособой, если в любой ее окрестности,
принадлежащей области D, существует по крайней мере одна другая
неподвижная точка. Соответствующее периодическое решение тогда называется
неособым.
Здесь мы будем в основном рассматривать преобразования, сохраняющие
площадь, т. е. такие, для которых в соотношении
является аналитической в некоторой области D фазового пространства,
содержащей в себе начало координат, и для всех конечных t она принадлежит
по крайней мере классу С2 относительно t. Пусть точка (х, у)=(0, 0)
является положением равновесия системы (4.1.5).
Пусть ( х0, y0)^D и пусть
будет соответствующим решением системы уравнений, аналитическим в D.
Рассмотрим отображение
| J | dx j ... dxn = dxj ... dxn,
где J - матрица Якоби, а |/| - якобиан
имеем |/| = 1.
Рассмотрим теперь гамильтонову систему уравнений
xk=-Hyh h=H*k {k=i,...,n), (4.1.5)
где функция Гамильтона
Н = Н (х, у, t) = Н (х, у, t + 2л)
*=y=g(x о.Уо.*)
(4.1.6)
') То есть предельный цикл (прим. перее.).
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
187
в окрестности начала координат. Очевидно, точка (0, 0) являетг ся
неподвижной точкой отображения Т. Так как функции / и g являются
аналитическими в окрестности точки (0, 0), то их можно разложить в ряды
Тейлора
**=/(0, 0, 2л) + || у* = g (0, 0, 2л) +
Принимая во внимание, что f0=g0 = 0, и определив
'*=(;•')¦ -О-
/й 2L\
дх ду \ п п
d_g ag]=J(*,9), /, = /(0,0),
дх ду J
, df X -f-
0 ду
Х + 7Г 0 ду
У
У + • • •
/ =
получаем
Z* = J0Z+ . . .
(4.1.7)
Заданное таким образом отображение Т является каноническим, т. е. должно
быть [ / j = 1 и, более того, матрица J должна быть симплектической (с
единичной валентностью)
JTEJ-E,
где
-I
Т
О
а Оп - единичная и нулевая матрицы размерности пХп. Этими же свойствами,
очевидно, обладает и матрица /0, а отображение (4.1.7) сохраняет площадь.
Рассмотрим линейное отображение
(4.1.8)
с собственными числами задачи, соответствующими алгебраическому уравнению
степени 2п относительно Я
|/"-А/|=0.
Так как свободный член этого уравнения равен |/о|, то ни один из его
корней не равен нулю. Пусть ик - собственные векторы, соответствующие
собственным числам Kk, т. е.
188 гл. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
Отсюда последовательно получаем равенства
EJ 0Uk - ^hEUh> JoEJ 0wk - XhJ oEuk,
Euk - XkJ 0Euh, 1_
К
J oEuk - Enh,
"ft
так что Xk является решением такого характеристического уравнения
Тт 1т
J 0----------Г" 1
О,
а так как | J\ - XI | = |/0-Я/| =0, то если Xh является собственным
числом, тогда и l/Xh - также собственное число. Таким образом'),
Х]Х2 . . . Х%п=: 1.
Пусть все Хк различны между собой (они могут быть вещественны или
комплексны). Если существует линейное преобразование
такое, что
где
то
l=Uо,
(c) *-L-1J0L&=A&,
L-1 J0L=A-Aiag {Х\, ..., Х2п),
и отображение (4.1.7) можно записать в виде
Z* = AZ + $(Z). (4.1.9)
Так как отображение (4.1.9) является аналитическим в окрестности начала
координат Z = 0, то можно написать
Xl = xkxk+ 2 P^(X,Y),
m=2 00
Y*=XY*+'2i V(tm)(X'Y),
m - 2
*) Это сразу видно из того, что j/o| = l {прим. перее.).
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
189
j " №) №) где к= 1, ..п, а и qm - однородные полиномы степе-
ни т относительно Хь ..Xn, Flf ..Fn. В векторной форме можно написать
X* = Я,Х + "р(Х, У),
У* = ШУ + Ч>(Х,1Г), (4.1.10)
д(Х*, У*)
где необходимо, чтобы
1/1 =
d(X,Y)
и, следовательно, отображение (4.1.10) сохраняет площадь. Запишем теперь
отображение (4.1.10) в виде
xl = xkuk, Yh = YhV k = (4.1.11)
где
оо оо
ик = 2 Pl] (X, F), 7, = 2 <№ (X, F), (4.1.12)
т=0 т-0
а Р^ и Q(m - однородные полиномы степени т. Разумеется, при этом мы имеем
п№) ____ т, ^
? 0 v0 - т,
k
Обсуждение свойств неподвижных точек отображений вида (4.1.10), которые-
сохраняют площадь, имеет первостепенную важность в теории динамических
систем, но выходит, к сожалению, за рамки настоящей книги. Тем не менее,
в качестве введения в результаты, излагающиеся в следующих параграфах, мы
хотим упомянуть некоторые факты, касающиеся свойств отображений в
окрестности неподвижной точки (подробнее см. [5], [35]).
Основная теорема утверждает, что для автономной системы
x=f(x), х-=(хх, ...,хп)
и начальных условий i = при t=0 и при условии анали-
тичности функции f (х) в D существует, и притом единственное, решение а;
=х (|, t), такое, что ж(|,0)= 2, и функция х (|, t) аналитична по t при t
из максимального интервала 0 t<.T.
Если для точки решение ж(1, t) является периодиче-
ским с периодом 2л и оно лежит в D, то отображение
х* = х (|, 2п) имеет неподвижную точку | в D.
190
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
В общем случае для данного преобразования, определенного в некоторой
области D, задача заключается в решении вопроса
о существовании и нахождении неподвижных точек этого преобразования.
Теоремы Брауэра и Пуанкаре - Биркгофа о неподвижных точках являются
типичными примерами такого рода задач. Вторая теорема немедленно находит
