Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
разложений в ряды мы отсылаем читателя к работе Мозера [35]. По нашему
мнению, эта работа содержит в себе большинство из того, что было сделано
в теории возмущений. Системы уравнений в вариациях в окрестности
положения равновесия или периодического решения также рассмотрены в этой
работе, и там можно найти много интересных ответов на исследуемые здесь
вопросы. Что касается резонансных случаев или случаев рациональности
частот со, Q, то они будут рассмотрены в конце главы V настоящей книги
именно с этой точки зрения.
Другие применения теоремы Колмогорова. Кроме уже упомянутых примеров, мы
закончим этот раздел указанием на то, что Баррар [8] использовал теорему
Колмогорова для доказательства существования условно-периодических орбит
искусственных спутников сжатой Земли. Однако он не мог рассматривать
орбиты с эксцентриситетами, стремящимися к нулю, из-за появляющегося
предельного вырождения. Такое рассмотрение можпо провести, если
использовать упомянутый выше модифицированный подход Арнольда.
Мозер применил [30] теорему Колмогорова для построения условно-
периодических решений уравнения Дюффинга без демпфирования
x+ax-{-bx3 = sf(t, х, х), (3.6.16)
где / - условно-периодическая функция времени t с базисными частотами
ссц, ..., со" и вещественная аналитическая функция относительно х, х. Как
обычно, считается, что при т-1 существует постоянная -ЙГ>0, такая, что
условия
I Г(r) + j0\>K |/Г\ j = (l\, • • •, h)
удовлетворяются для почти всех <й. При этих условиях Мозер показал, что
при /, удовлетворяющей еще условию
/(*, х, x)=f(-t, х, -х),
существует вещественная аналитическая функция а (г) и условно-
периодическое решение x=<p(t, е) с базисными частотами соь ..., со",
такие, что а(0)-а, <р(?, 0)=0. В конечном счете это еще не дает решения
уравнения (3.6.16), так как коэффици-
182
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
ент при х должен быть приведен к некоторому а(е)фа. Метод, развитый
Мозером, не является просто непосредственным применением теоремы
Колмогорова, а некоторым новым подходом к рассматриваемой конкретной
задаче, также и потому, что не требуется, чтобы исходное уравнение имело
гамильтонов вид. Член Ъз? рассматривается как возмущение. Уравнение
переписывается в комплексной форме
i=iaz-\-bxz-\-&f (t, х, х],
где z=^x-\-ix, а а/а полагается изменяющимся на отрезке [1-ц, 1+fi] при
малом fi. Запишем
у=а-а=0(\х),
так что уравнение примет вид
z=i(a+y)z-\-,eg(Q, z, I),
где 0= (0j, ..., 0"), 0ft=<oht.
Тогда существует преобразование координат
у=ц+и(ц), z=5+i;(0, 5, I, П),
такое, что в результате ряда последовательных приближений уравнение
приводится к виду
i=i(a+r\)l,
который и используется для доказательства упомянутого результата.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В. И. Об устойчивости положений равновесия гамильтоновой
системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом
случае.-ДАН СССР, 1961, т. 137, № 2, стр. 255-257.
2. Арнольд В. И. О рождении условно-периодического движения из
семейства периодических движений,-ДАН СССР, 1961, т. 138, № 1, стр. 13-
15.
3. А р н о л ь д В. И. Малые знаменатели I. Об отображениях окружности
на себя.-Из(r). АН СССР, Сер. матем., 1961, т. 25, № 1, стр. 21-86.
4. Арнольд В. И. О классической теории возмущений и проблеме
устойчивости планетных систем.-ДАН СССР, 1962, т. 145, № 3, стр. 487-490.
5. А р н о л ь д В. И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся
интегрируемых проблем динамики.-Сиб. матем. ж., 1963, т. 4, № 2, стр.
471-474.
6. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении
условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.-
УМН, 1963, т. 18, № 5, стр. 13-40.
7. А р н о л ь д В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости
движения в классической и небесной механике.-УМН, 1963, т. 18, № 6, стр.
91-492.
ЛИТЕРАТУРА
183
8. В а г г а г R. В. Existence of conditionally periodic orbits for
the motion of a satellite around an oblate planet.- J. of Appl Math.,
1966, vol. 24, p. 47-55.
9. В a r r a r R. B. A proof of the convergence of the Poincare - von
Zeipel procedure in celestial mechanics.- Am. J. Math., 1966, vol. 88, p.
206-220.
10. В a r r a r R. B. Convergence of the von Zeipel procedure.- Celest.
Mech., 1970, vol. 2, № 4, p. 494-504.
И. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы,-М.: Гостехиздат, 1941.
12. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической
физике,-Киев: Изд-во АН УССР, 1945.
13. Боголюбов Н. Н. Об условно-периодических решениях в нелинейных
задачах механики,-Киев: Изд-во АН УССР, 1963
14. Брауэр Д., Клемане Дж. Методы небесной механики.-М.: Мир, 1964.
15. Brown Е. W. An introductory treatise on the Lunar theory.- London:
Univ. Press, 1896.
16. С e s a r i L. Sulla stabilita delle soluziQni dei sistemi di
equazioni differcnziali lineari a coefficienti periodici. Atti Accad.
Ital. Mem. Clas. Fis. Mat. e Nat., 1940, t. 11, p. 633-692.
17. Deprit A., Deprit-BartholomeA. Stability of the triangular
