Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
\Ш-]\>в\к\~*, (3.5.14)
где к - не равное нулю целое число, р - выбранное соответст-
вующим образом положительное число, а / - произвольное целое число. Это
утверждение будет рассмотрено в следующей главе в связи с полученными
Мозером [33] результатами об отображениях кольца, сохраняющих площадь. В
теории Мозера, кроме того, будет рассмотрена и проблема сходимости.
Функции ик, получающиеся при к-м приближении по е, определяются как
решение уравнений вида
°1§Г + Т7- = >1*+2 A^eim+qi), (3.5.15)
если определить Xk = - А($, что является типичным для методов
усреднения. В результате получим
Я:= еЯ,1 -J- е2%2 4~ • • • = sG(e, ^3) (r))>
т. е.
ш - Q = &2G (е, Q, (c)),
откуда находим характеристический показатель в виде Q = й (е, <о) = со +
е2йг ((r)) + е^Йз (ю) +...
6. ЗАМЕЧАНИЯ
167
Если уравнение (3.5.1) рассматривается для n-мерного случая, т. е.
где z = col (zi, ..., zn), А - постоянная nXn-матрица, a B(t) -
периодическая nXre-матрица, то вышеописанная процедура может быть
применена в случае, когда все собственные числа матрицы А различны (и,
следовательно, не равнъЛ нулю). Необходимо отметить при этом существенную
трудность, заключающуюся в том, что уравнения, соответствующие уравнениям
(3.5.6), не будут уравнениями только относительно неизвестной ик, а
являются уравнениями относительно всех других компонент вектора и и
вектора v. Однако этот факт не мешает одновременному определению функций
и и v с помощью метода последовательных приближений и обобщенной
процедуры усреднения.
где s = п + 1, может быть установлена в следующей теореме,
сформулированной в работе Хинчина [23] и обсуждавшейся также в работе
Коксмы [24].
Теорема. Почти каждый вектор ш = ((c)i, ..., ш") удовлетворяет выписанным
выше неравенствам (3.6.1) для всех ненулевых целочисленных векторов к =
(кг, ..., кп) и выбранной соответствующим образом величины К(ш)> 0.
Доказательство теоремы является весьма простым и опирается на тот факт,
что неравенства (3.6.1) не выполняются только в резонансных областях,
ширина которых меньше 2К |&|-*, где |&| -для данных к, К и со из
ограниченной области Q((o). Этот факт очень сильно влияет на сходимость
итераций, так как, считая функцию F(z) аналитической (см. уравнение
(3.2.20)), получаем, что ее коэффициенты/(*) убывают экспоненциально
быстро, т. е. для некоторых положительных вещественных чисел М, р имеем
z-j-Az = e.B(t)z,
6. Замечания
Выполнимость условия иррациональности
(3.6.1)
и, следовательно, из (3.2.22) получаем
/(й) ^ ML -lftl(p-a)
163
ГЛ. III. ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ
где р == 2п + 3, a L, 6 - выбранные соответствующим образом постоянные.
Это приводит к сходимости ряда для производящей функции метода Пуанкаре S
в кольце Г (р - 6).
Колмогоров [25] предложил следующий подход к решению вопроса о сходимости
последовательности канонических преобразований, определяемых функцией S.
Рассмотрим инвариантный тор Т((д*) возмущенной системы; движение на нем
будет условно-периодическим с заданными заранее частотами ю* = ((r)ь •••
...,С9п)" удовлетворяющими условиями (3.6.1). Тор Т(с"*) расположен в
окрестности соответствующего тора невозмущенной системы, определяемой
гамильтонианом Н0(х), т. е.
х* = х + О(ц), (0*=^.
В этой окрестности можно ввести новые переменные х', у' с помощью
аналитического канонического преобразования, определяемого функцией S, а
гамильтониан тогда принимает вид
Я (у, х) = Я(1) (у1, х') = (х1) + Я^ (у', х'),
где соотношение | Н[1) | - [ Ях |2 дает начало квадратичной сходимости
ньютоновского типа, что обсуждалось в работах Нэша [37] и Канторовича
[22]. Такой подход изменяет характер сходимости последовательных
приближений, который был указан после уравнения (3.2.1) и где было
получено только линейное сжатие, так же как и при классическом подходе в
методе Пуанкаре. Оценки из леммы 1 могут быть получены с помощью
процедуры мажорирования, однако, как указывал Мозер [35], оценки с
помощью мажорирующих рядов не приводят к сходимости. Оценки Мозера
привели к мажорирующим рядам 2 (P-)2s которые
р
расходятся для всех ц > 0. В модифицированном методе Ньютона,
предложенном Колмогоровым, точность увеличивается как степень двух и
предыдущие ряды заменяются на ряды 2(p02s Р-2Р,
р
которые сходятся при достаточно малых ц > 0. Как указывал сам Колмогоров,
его теорема непосредственно применима в некоторых классических задачах
динамики, например, в следующих задачах.
а) Движение точки на аналитической поверхности, мало отличающейся от
поверхности вращения или от поверхности эллипсоида.
б) Плоское движение (планетарный случай) астероида под действием
притяжения Солнца и Юпитера. Хотя в этой задаче гамильтониан
невозмущенного движения имеет вид (в равномерно
6. ЗАМЕЧАНИЯ
169
вращающейся системе координат)
#о = Дг 1
+
и, следовательно, преобразование формально расходится, в том смысле, что
йе1{д2Н01дх^х,} = 0, но модифицированное условие
det
д*н^ dju
дх.
дх.дх. г J
