Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
окружности радиусом R = 500 м так, что угол поворота изменяется с
течением времени по закону
54
<р = с t + b i1 [рад],
где с = 0,2 рад/с, b = 0,1 рад/с2. Найти величину угловой скорости,
угловое ускорение, линейную скорость и ускорение точки в момент времени,
когда она изменяет направление вектора скорости на противоположное.
• Решение. Закон движения материальной точки задан в виде зависимости
угла поворота <р от времени. Используя определения угловой скорости и
углового ускорения, получим
со = = с+ 2 Ы, е = ^ = 2 Ь. (1)
dt dt
Линейная скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения связаны
с угловыми характеристиками движения соотношениями
2 _______ _____
и = со Л; ах = е Л; ап = ^ = со2 Л; a =V а2 + а$ = R^l со4 + е2. (2)
При движении по окружности направление вектора линейной скорости и точки
непрерывно меняется. Если угол поворота точки изменится на к радиан, то
направление вектора и изменится на противоположное. Запишем закон
движения точки в момент времени т, которому соответствует ср (т) = я:
71 = С Т + Ь Т2.
Отсюда находим
т2 + |т-Х = 0; т = 6,7 с. о b
Подставив числовые значения в выражения (1)-(2), найдем искомые величины
в момент времени т:
со (х) = с + 2 Ьх= 1,54 рад/с, е = 2 Ь = 0,2 рад/с2, и = 770 м/с, а -
1190 м/с2.
• Ответ'. со(т) = с + 26т = 1,54 рад/с; е = 2 Ь = 0,2 рад/с2; и = 770
м/с; а - 1190 м/с2.
1.89. Угол поворота колеса радиусом Л = 10 см изменяется с течением
времени по закону
<р = 4 + 2 t-t2 [рад].
Определить зависимости от времени угловой скорости и углового ускорения
колеса, а также линейной скоростей точек на его ободе.
1.90. В момент времени t = 0 материальная точка начинает двигаться по
окружности так, что угол поворота изменяется с течением времени по закону
Ф = 2 я (6 / - 3 ?3) [рад].
Сколько полных оборотов сделает точка до момента изменения направления
вращения?
1.91. Две материальные точки начинают одновременно двигаться по
окружности радиусом R = 2 м так, что углы поворота изменяются с течением
времени по законам
Ф, = 2 + 2 / [рад], ф2 = - 3 - 41 [рад].
Определить величину скорости одной точки относительно другой в момент их
встречи.
1.92. Найти радиус вращающегося диска, если линейная скорость точки,
лежащей на ободе, в п = 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей
на расстоянии d=5 см ближе к оси диска. Во сколько раз отличаются
ускорения этих точек?
55
• Решение. При вращении диска все его точки движутся с одинаковыми
угловыми скоростями. Рассмотрим точки / и 2, расположенные на расстояниях
R и R - d от оси диска соответственно (рис. 1.51).
Поскольку угловые скорости to, и to2 точек одинаковы и связаны с их
линейными скоростями соотношениями
то
R-d
и,
Отсюда находим
R = d-
R-d'
ul/u2
- = d
u2 tl П- 1
R-d
8,33 cm.
Ускорение точки /, расположенной на ободе диска, может быть представлено
через нормальное и тангенциальное ускорения
а\ ~ ^ п + а\ V
Полагая, что диск вращается равномерно, получаем
2 ..2
Я,
'1Т = 0; Аналогично для точки 2:
~ R
а2 п~
Следовательно,
R~d
'A R
и.
Ответ: R = d-
п- 1
; 8,33 м; - = и = 2,5.
1.93. Линейная скорость точек на ободе вращающегося колеса равна
о, = 3 м/с. Точки, расположенные на d= 10 см ближе к оси, имеют
линейную скорость о2 = 2 м/с. Сколько оборотов в секунду делает колесо?
1.94. Большой шкив ременной передачи имеет радиус Щ = 32 см и вращается с
частотой и, = 120 об/мин. Радиус малого шкива R2 = 24 см. Найти угловую
скорость малого шкива, число его оборотов в минуту и линейную скорость
точек ремня.
1.95. Диск равномерно вращается вокруг своей оси так, что точки,
расположенные на расстояниях R = 30 см от оси, за время т = 20 с проходят
путь AS = 4 м. Сколько оборотов за это время сделал диск? Чему равен
период обращения диска?
• Решение. При равномерном вращении диска угол поворота произвольной
точки изменяется с течением времени по закону
ф = а> t,
где to - угловая скорость диска.
За время т все точки диска повернутся на угол
Дф = to т,
а точка, расположенная на расстоянии R от оси диска, пройдет путь ДS = R
Дф, или AS = R to т.
56
Следовательно, угловая скорость диска
Д? со =-.
R т
Поскольку период обращения диска при равномерном вращении Т= 2 к/а>, то
" 2лЛт пл _
Т =------" 9,4 С.
AS
Число оборотов диска за время т можно найти как отношение пути,
пройденного рассматриваемой точкой за это время, к пути, соответствующему
одному обороту точки (длине окружности),
ЛГ=-М
2 71 Л '
или как отношение времени движения точки ко времени одного оборота
(периоду)
п ,, ДS " , " 2п/?т " ,,
• Ответ'. N-------* 2,1; Т =-- " 9,4 с.
2 я R AS
1.96. Материальная точка движется равномерно с частотой v = 0,2 с'1 по
окружности радиусом Л = 50 см. Найти путь, пройденный точкой за At = 20
с.
1.97. Материальная точка, движущаяся равномерно по окружности, совершает
один оборот за Т= 2 с. Найти радиус окружности, если за At = 5 мин точка
прошла путь AS = 100 м.
1.98. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью
