Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
участке между остановками
ASx+AS2 + AS3 u2/(2 о) + и Л/ + AS ,
0"п =------------- ----1-------1-----а 8,16 М/С.
р Л?, + Д/2 + At3 и/а + At + 2 Д5/и
^ о2/(2а) + и At + AS ntr ,
• Ответ: o"n = --Л-1-------- =8,16 м/с.
ср и/а + Д/ + 2 Д5/и
1.39. Автомобиль первую половину пути двигался равномерно со скоростью и,
= 36 км/ч, а вторую половину - равноускоренно. Определить среднюю путевую
скорость автомобиля, если в конце рассматриваемого участка его скорость
равна и2 = 108 км/ч.
1.40. Поезд в течение Д/, = 1 мин движется с постоянным ускорением
а, = 0,5 м/с2, затем в течение Д/2 = 2 мин - с постоянной
скоростью, затем
Дf3 = 30 с - равнозамедленно до полной остановки. Найти среднюю путевую
скорость поезда на данном участке пути, если его начальная скорость равна
нулю.
Произвольный закон движения
1.41. Материальная точка движется так, что ее радиус-вектор зависит от
времени по закону
г*=а/м-(Р /2-у'3)/[м],
"У Ч
где а = 1 м/с, |3 = 3 м/с , у = 4 м/с . Найти максимальную скорость
точки?
• Решение. Из зависимостей координат точки от времени
x = at, _у=р?2-у/3 следует, что вдоль осн ОХ точка движется с постоянной
скоростью и* = а, а вдоль осн OY - с некоторым ускорением аг которое
меняется с течением времени. Следовательно, проекция вектора скорости
3 = ^ = ccTV(2pf-3Yf2)/ (1)
на ось OY и модуль скорости
40
= 2 р / - 3 у /2 (2)
о =Vu2 + 02 =v а2 + (2 р f - 3 у t2)2 (3)
с течением времени будут меняться. Легко понять, что скорость будет
максимальна в момент времени, соответствующий максимуму величины проекции
Исследуем зависимость (2) на экстремум:
rfov S
-р = 2 р - 6 у t\ Р - 3 у т = 0; т = .
at 3 у
Так как вторая производная (?) по времени
отрицательна, то функция (/) имеет только максимум. Поэтому момент
времени х соответствует максимуму проекции скорости иу и максимуму
величины скорости:
итах а2 + (2 Р т - 3 у т2)2 =Va2 + Jl = 1>25 м/с.
-Г '
-(r)-г = 1,25 м/с.
9У2
1.42. Материальная точка движется вдоль прямой так, что пройденный ею
путь зависит от времени по закону
S=at-b t2+ с t3 [м], где а= 1 м/с, Ь = 2 м/с2, с = 3 м/с3. Найти скорость
и ускорение точки в момент времени т = 2 с, а также определить
расстояние, пройденное точкой, за первые At = 2 с после начала движения.
1.43. Материальная точка движется вдоль оси ОХ так, что ее координата
зависит от времени по закону
дс = 1/5 /3- 3 /2+ 8 / + 1/5 [м].
Найти среднюю путевую скорость точки в интервале времени от /, = 1 с до
t2 = 5 с. Чему равна максимальная скорость точки в этом интервале
времени?
1.44. Материальная точка совершает движение в плоскости XOY так, что ее
координаты зависят от времени по законам
х = a cos со t [м], у = a cos 2 со / [м], где а и со - известные
постоянные величины. Найти уравнение траектории У=/(х) точки, а также
зависимости от времени скорости и ускорения точки.
• Решение. Для того чтобы получить уравнение траектории материальной
точки в виде у-/(х), необходимо нз уравнений движения исключить время и
получить зависимость координат друг от друга. В задачах, подобных данной,
из уравнений движения удобно исключить не время /, а функцию, содержащую
время.
Выразив функцию времени
cos га t = х/а
из зависимости х (t) н подставив в у (t)
у = а (cos2 со t - sin2 со t) = a [cos2 со t - (1 - cos2 со 0] = а (- 1 +
},
а а
получим
у = ^*?-а [м].
Ответ: о"
лГТ
= v a +
41
Проекции векторов скорости и ускорения на оси системы координат равны
соответст-
ВеНН° dx г dv* 2
= - = - а <а sm <о /, I ах = = -аа cos(r) t,
= - 2 a to sin 2 to /, 1 av = = - 4 а <а2 cos 2 со t.
у at у at
Следовательно, векторы скорости и ускорения точки
и = - а со (sin со U + 2 sin 2 со tj) [м/с], ~3= - а со2 (cos со /7 + 4
cos 2 со t?) [м/с2].
• Ответ: у = - а [м]; и = - а со (sin со tT+2 sin 2 со tj*)
[м/с];
~3=-а со2 (cos со 17 + 4 cos 2 со tj) [м/с2].
1.45. Материальная точка совершает движение в плоскости XOYтак, что ее
координаты зависят от времени по законам
х = a cos со t [м], у = Р sin со / [м], где а, Р и со - известные
постоянные величины. Найти зависимости от времени скорости и ускорения
точки.
1.46. Материальная точка совершает движение в плоскости XOYтак, что ее
координаты зависят от времени по законам
х = a sin со / [м], у = a cos 2 со / [м], где а и со - известные
постоянные величины. Найти уравнение траектории у =/(х) точки и
зависимость величины скорости точки от времени.
Движение вблизи поверхности Земли
1.47. Тело, падающее с некоторой высоты без начальной скорости, последние
h= 196 м пути прошло за Д/ = 4 с. Сколько времени падало тело и с какой
высоты? Сопротивлением воздуха пренебречь.
• Решение. Тело, свободно движущееся вблизи поверхности Земли, имеет
ускорение a = g.
Поскольку начальная скорость тела равна нулю, то
тело будет падать вертикально и для описания его движения достаточно
одной оси системы координат.
Поместим начало отсчета О системы координат в точке Л, из которой
начинает падать тело, а ось OY направим вертикально вниз вдоль вектора
