Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
одного из причалов, он теряет спасательный круг. Через четверть часа он
обнаруживает пропажу, поворачивает назад и догоняет круг на расстоянии S
= 2 км от причала, вблизи которого он его потерял. Какова средняя
скорость течения реки, если мощность двигателя лодки не изменялась?
• Решение. Введем систему координат, ось ОХ которой направим против
течения реки, а "I начало отсчета поместим в точку, в которой ту-
_1____> рист потерял спасательный круг (рис. 1.49).
^ Скорость моторной лодки относительно
выбранной системы отсчета может быть пред-
-S
о
Рис. 1.49
52
ставлена в виде векторной суммы скорости лодки в стоячей воде Т$л н
скорости течения рекиТ?р:
3 = ^ + V (!)
После того как турист потерял спасательный круг, он продолжал пльпъ
против течения реки со скоростью
и1=ил-ир.
а после того как обнаружил пропажу, стал пльпъ по течению реки со
скоростью
°2 = - (°л + °р)-
Очевидно, что
1 = о, Af, = (ол - Up) Д/,, 5 +1 = | о21 Д/2 = (ол + Ор) Д/2, (2)
где L - расстояние, которое турист проплыл до разворота; Д/,, Д/2 - время
движения лодки до н после разворота соответственно, причем Д/, = 0,25 ч.
За время Д/3 = А/, + Д/2 спасательный круг проплыл расстояние 5 со
скоростью ор:
5= ор Д/3, 5 = ор (Д/, + Д/2). (3)
Выразив время Д/2 из (3) н подставив в (2), получим
Д/2 = -^-Д/,; 5Ч-(0л-0р)Д/1=(0л + 0р){-^--Д/1}.
л Р Р
Отсюда находим
ип =------= 4 км/ч.
р 2 Д/,
Решение задачи может быть гораздо короче, если использовать движущуюся
систему отсчета, связав ее со спасательным кругом. Абсолютная скорость
лодки о (скорость относительно системы отсчета, связанной с точкой, в
которой турист потерял спасательный круг) равна сумме относительной и
переносной Т>пер скорости
и = иотн + ипер' W
причем опер = ор.
Из (4) с учетом выражения (1) получим
иотн + ир = ил + ир > иотн = °л ¦
Следовательно, относительно такой системы отсчета до и после разворота
лодка двигалась с одинаковой скоростью, равной ол. Поскольку до разворота
лодка плыла в течение времени Д/,, то и обратно она затратит столько же
времени. За это время тело отсчета (т е. спасательный круг) пройдет путь
5 со скоростью ор:
5=ор2Д/,; ор^.
• Ответ: ип =------= 4 км/ч.
р 2 Д/,
1.82. Когда мимо пристани проплывает плот, от пристани в деревню,
расположенную на расстоянии S, = 15 км вниз по течению реки, отправляется
моторная лодка. Она доходит до деревни за А/, = 45 мин и, сразу повернув
обратно, встречает плот на расстоянии S2 = 9 км от деревни. Какова
средняя скорость течения реки?
1.83. Катер идет по течению реки из пункта А в пункт В время А/, = 3 ч,
обратно - At2 = 6 ч. Сколько времени потребуется катеру, чтобы пройти
расстояние между пунктами А и В при выключенном моторе?
1.84. Мальчик, который может плавать со скоростью в два раза меньшей
скорости течения реки, хочет переплыть реку так, чтобы его как можно
меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть?
На какое расстояние его снесет, если ширина реки 5 = 50 м?
53
• Решение. Поскольку скорость мальчика ом относительно воды меньше
скорости течения реки Up, то переплыть реку так, чтобы течение его ие
сиесло, мальчик не сможет. Очевидно, что мальчик должен плыть против
течения реки под некоторым углом а к береговой линии.
Введем систему координат XOY, начало которой поместим в точку на берегу,
из которой мальчик начал движение, а оси направим так, как показано на
рис. 1.50. Скорость мальчика относительно выбранной системы отсчета равна
"a6c = "M + V
" Исключая время из уравнений движения
Рис. 1.50
мальчика
* = иабс*' = ("м cos " - °рК У = °абсу' = °м sin ° '•
записанных в точке А, которой он достиг на противоположном берегу реки,
- L = (им cos а - Up) т, S=uMsinaT
(где L - расстояние, на которое течение снесло мальчика; т - время, через
которое мальчик достиг противоположного берега), получим
5 , $ (°р - uM cos а)
т =----;-; L =----к-:---------.
uM sin а им sin а
Исследуем зависимость L (а) на экстремум:
"2 а - fu" - u.. cos at cos a
- = 0.
dL S um sin a ~ (Qp ~uM cos a) cos a
dt °M
Поскольку sin a * 0, to
uM sin2 a - (op - uM cos a) cos a = 0.
Следовательно,
°м ~ °p cos a = 0; cos a = - = - ; a = 60°.
Очевидно, что расстояние, на которое течение снесло мальчика, при a = 60°
минимально:
imin = ~ 86,6 м.
• Ответ', а = 60°; Imjn = VT 5 " 86,6 м.
1.85. Моторная лодка движется перпендикулярно течению реки шириной L = 54
м. Течение снесло лодку на расстояние S= 15 м. Скорость лодки
относительно воды ил = 5 км/ч. Определить скорость течения реки.
1.86. Моторная лодка движется относительно воды со скоростью в два раза
большей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения
лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?
1.87. Самолет совершает прямой и обратный рейсы между двумя населенными
пунктами. При каком направлении ветра относительно трассы время полета
будет максимальным? минимальным?
Кинематика движения по окружности
1.88. В момент времени t = 0 материальная точка начинает двигаться по
