Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
движение груза будет происходить по параболе.
Введем систему координат XOY так, как показано на рис. 1.42: начало
совместим с точкой отделения груза от самолета, ось ОХ направим вдоль
вектора начальной скорости и0, а ось OY- вдоль вектора ускорения g
44
Рнс. 1.42 Рис. 1.43
Проекции векторов и0 н а на оси выбранной системы координат равны: и0х =
и0, "0у = 0, ах ~ О, ау = g. Следовательно, вдоль осн ОХ груз будет
двигаться равномерно, а вдоль осн OY- равноускоренно. При этом координаты
груза н проекции его скорости будут меняться с течением времени по
законам
x=u0t,
UX = U0,
2 • I =
При движении по параболе направление вектора скорости "о груза будет
непрерывно меняться. В момент времени т, соответствующий направлению
скорости груза под углом а к горизонту, проекции вектора скорости на осн
системы координат
°Х= °0> Оу=?Т
связаны очевидным соотношением
Оу = ох tg а, или gT = o0tga, а координата у груза равна (Я - Л).
Следовательно,
;; Н-к = Ц-,
или h = H -
g L ' 2 g
Радиус кривизны траектории груза найдем нз выражения
а 1,32 КМ.
где и - модуль вектора скорости в момент времени т; а" - проекция вектора
ускорения на нормаль к траектории (рис. 1.43):
о*
u = Vu* + u* = + = o0V 1 -Mg2 a; a"=g
_S_
Следовательно,
og(l + tg2a)'4 R = --------------- * 6,28 km.
cos a = g - = -,_______
U V l+tg2ct
u"tga (1 + tg^ a)2
• Ответ: h = H---- ---* 1,32 км; Л =------------"6,28 км.
2 g g
1.60. с холма в горизонтальном направлении брошено тело. Через Д/ = 0,5 с
после броска скорость тела по сравнению с начальной увеличилась в ns 1,5
раза. Определить начальную скорость тела. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
1.61. Тело брошено горизонтально. Через At = 5 с после броска угол между
направлением скорости и ускорения стал равен a = 45°. Определить скорость
тела в этот момент времени. Сопротивление воздуха не учитывать.
45
1.62. Камень брошен горизонтально со скоростью о0 = 5 м/с. Найти
нормальное и тангенциальное ускорения камня через At = 1 с после начала
движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.63. Из орудия, стоящего на высоте h0 над уровнем горизонта, вылетает
снаряд со скоростью и0 под углом а к горизонту. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, определить: 1) время движения снаряда до падения
на поверхность земли; 2) расстояние от места расположения пушки до точки
падения снаряда, измеренное вдоль поверхности земли; 3) скорость снаряда
в момент падения и угол падения; 4) максимальную высоту подъема снаряда
над поверхностью земли; 5) уравнение траектории У-f (х); 6) радиус
кривизны траектории в высшей точке и в точке падения снаряда на землю.
Рнс. 1.44
• Решение. Выберем систему отсчета из соображений удобства записи
уравнений движения снаряда. Естественно направить оси координат
горизонтально и вертикально таким образом, чтобы орудие находилось в
начале отсчета хотя бы по одной нз осей. Можно, например, выбрать систему
координат XOY так, как показано на рис. 1.44.
Проекции векторов начальной скорости и0 и ускорения <?=g на оси системы
координат равны: иох = о0 cos а, и0у = о0 sin а, ах = 0, ау=- g.
Следовательно, вдоль оси ОХ снаряд будет двигаться равномерно, а вдоль
оси OY- равноускоренно.
Полное кинематическое описание рассматриваемого движения дает система
уравнений
Ду'2 g Р"
*=o0jc/ = o0cosct/, у = hQ + u0yt + = А0 + о0 sin а / - "j-, (1)
ux = uox = uocos". и,, = o0^, + ay / = о0 sin а -g /, (2)
которая в момент времени I = т, соответствующий пааению снаряда на
поверхность земли (х (т) = 5; у (т) = 0), примет вид
5 = о0 cos а т, 0 = h0 + о0 sin а т - , (3)
oKJC = o0 cos а, ок>1 = о0 sin а - g т, (4)
где 5 - расстояние от места расположения пушки до точки падения снаряда,
измеренное вдоль поверхности земли (расстояние от точки О до точки К),
oKJC, ику - проекции вектора скорости снаряда в точке падения на оси ОХ и
OY соответственно.
46
Время полета снаряда найдем из второго уравнения (3):
о0 sin а ± V и2 sin2 а+ 2 gh0
h,2 = ---------------------------------
g
Поскольку физический смысл (т ? 0) имеет только решение со знаком "плюс"
перед
вторым слагаемым, то i-2-=----------
о0 sin а + "V Og sin а + 2 gh0
т = -
g
Зная время т, найдем расстояние S
о? cos a sin а + ' cos2 a sin2 а + 2 ghnul cos2 а
5 = _0-------------------о------------------------------------= (5)
g______________________
Og sin 2 а + V Од sin2 2 а + 8 g h0 Од cos2 а
2 g
и модуль вектора скорости снаряде в момент падения
| iJK | = ^ uKJ(2 + и2 у = V Og cos2 а + (о0 sin а - g т)2 =
= ^ uj cos2 а + (- V ojj sin2 а + 2 g tog)2 =V u2 + 2gh0.
Угол p падения снаряда на поверхность земли - это угол между вектором
скорости Т?к в точке падения и положительным направлением осн ОХ. Из рис.
1.44 видно, что
" lUK*l u0cos"
cosp = --- = -===.
1 °К I Vol^2gh0
Поскольку в нанвысшей точке траектории (в точке М) проекция вектора
скорости им на ось OY равна нулю, то, записав второе из уравнений (4) в
момент времени /м, соответствующий положению снаряда в точке А/,
