Физика. Теория. Методика. Задачи - Демков В.П.
Скачать (прямая ссылка):
с. Следовательно, за время At точка пройдет путь
AS=ASl+AS2,
где AS, - путь, пройденный от начала движения на рассматриваемом участке
до момента разворота; AS2 - путь, пройденный от момента tp до момента
времени /2 = 3 с:
Л5, = |дс(/р)-дс(/,)| = |8-2| = 6 м, AS2 = |*(/2)-x(fp)| = |6,5-8| = l,5
м,
AS= AS{ + AS2 = 7,5 м,
иди
AS= | 2 + 6 (р - 1,5 fp - 2 - 6 f| + 1,5 | +1 2 + 6 /2 - 1,5 /2- 2- 6 /р
+ 1,5 /р | = 7,5 м.
Тогда средняя путевая скорость
AS - , ,
иср = ^7 = 2>5 м/с-
Путь AS можно найти также с помощью графика зависимости модуля скорости
точки от времени. Путь, пройденный точкой от момента времени /, = 0 до /2
= 3 с, численно равен площади под графиком | о* (01. Поскольку скорость
точки с течением времени менялась по линейному закону
иг (0 = 6-3 t,
то для построения графика зависимости | (/) | достаточно найти скорость
точки в два
произвольных момента времени, иапрнмер, в моменты времени /, и t2:
Чс (*i) = 6 - 3 f, = 6 м/с, о* (fj) = 6 - 3 t2 = - 3 м/с, причем в момент
времени fp = 2 с скорость точки равна нулю.
Как видно из рис. 1.35, для определения пути AS нужно найти площадь двух
треугольников:
6-23-1 AS = ~2~ ~1~= М
2*
35
Рнс. 1.35 Рнс. 1.36
Наконец, путь можно найти непосредственно из графика зависимости
x(t) = 2 + 6t- 1,5 t2.
Это парабола, вершина которой находится в точке
?верш = ~ 2 (_ 1 5) = ^ с> ¦'¦верш = 2 + 6 ?верШ - 1,5 /верШ = 8 м,
а ветви направлены вниз. При этом парабола проходит через точки f,
= 0, х (?,) = 2 м и
/2 = 3 с, дс (/j) = 6,5 м. Из графика х (?) (рнс. 1.36) видно, что за
время от /, до (верш точка
пошла путь AS, = 6 м, а от ?верш до 12 - путь ДS2 = 1,5 м.
• Ответ: о* (т) = - 3 м/с; ах (т) = - 3 м/с2; иср = 2,5 м/с.
1.27. Материальная точка начинает движение в момент времени t = О и
движется вдоль оси ОХ так, что ее координата зависит от времени по закону
х = 1 + 2 / -12 [м].
Определить путь, пройденный точкой за Д/ = 3 с после начала движения.
1.28. Материальная точка начинает движение в момент времени t = О и
движется вдоль оси ОХ так, что ее координата зависит от времени по закону
х = 2- 6/ + 2/2 [м].
Найти среднюю путевую скорость точки за первые Д/, = 1 с и Д/2 = 3 с
после начала движения.
1.29. Материальная точка движется так, что ее радиус-вектор зависит от
времени по закону
/¦*= 2 t?+ 3 i2j* [м].
Найти уравнение траектории y=f(x) точки, а также определить значения
нормального, тангенциального, полного ускорения точки и радиус кривизны
траектории в момент времени т = 1 с.
• Решение. Для определения уравнения траектории материальной точки в
виде y=f(x) запишем закон движения в координатной форме
x = 2t, y = 3t2
Следовательно,
/=1/4*; ^ = 3/4*2-
В произвольный момент времени t скорость и ускорение точки равны
^(t) = ~f=27+6tf [м/с], а (0 = ~ = 6 / [м/с2],
36
а в момент времени х
t} (т) = 2 7 + 6 тТ= 27+ б/[м/с], а(х)-а(0 = б/ [м/с2]. (1)
Поскольку точка движется по кривой, лежащей в плоскости XOY, то вектор
ускорения можно разложить иа две взаимно перпендикулярные составляющие -
нормальное н тангенциальное ускорения
а = а" + ат,
причем
а их абсолютные значения
и2 dv
ап~ R' а'~ dt
Так как модуль вектора скорости точки в произвольный момент времени равен
и=^4 + 3612 =2 V 1 +9t2 (3)
то тангенциальное ускорение
/л _ _ 18 /
М) dt
в момент времени т примет значение
ат(х) = -=Ш=*5,7м/с2. (4)
VI + 9 т2
Нормальное ускорение точки можно найти из выражения (2). В момент времени
т
а" (т) = ^ а2 (т) - а\ (т), или с учетом (1) н (4) ____________
ап (т) = Ч36--^А; " 1,9 м/с2. (5)
1 +9 т
Чтобы найти радиус кривизны траектории в момент времени т, воспользуемся
приведенной выше формулой для а" с учетом выражений (3) н (5):
2
Л = - ж 21,1 м.
ап
• Ответ: = 3/4 д:2 [м]; (т) = 1,9 м/с2; ат (т) = 5,7 м/с2; а
(т) = 6 м/с2; Л * 21,1 м.
1.30. Материальная точка движется в плоскости XOY так, что ее ко-
ординаты зависят от времени по законам
х = а, + р, / + у, t2 [м], у = а2 + Р2 / + у212 [м], где р, = р2 = 1 м/с,
Yj = - 1 м/с2, у2 = 2 м/с2. Чему равно ускорение точки?
Определить угол между направлениями векторов скорости и ускорения в
момент времени т = 1 с.
1.31. Материальная точка движется так, что ее радиус-вектор зависит от
времени по закону
-> а 2 Л г 1
г = 3 / i + 2(j [см].
Найти радиус кривизны траектории в момент времени т = 2 с.
1.32. Автомобиль начинает движение с ускорением а = 1 м/с2. Проезжая мимо
наблюдателя, он имеет скорость и = 10,5 м/с. На каком расстоянии от
наблюдателя он находился секунду назад?
• Решение. Выберем начало системы координат в точке О, откуда
автомобиль начал свое движение, а ось ОХ направим вдоль движения (рис.
1.37). Поскольку начальная скорость
37
о*
а , 'у автомобиля равна нулю, то его координата
? * х и скорость вдоль выбранной оси будут ме-
Х\ - S *1 няться с течением времени по законам
^ис- I--*7 х = ^2' v = at. (1)
В момент времени когда автомобиль поравнялся с наблюдателем, координата
автомобиля имела некоторое значение дс,. За секунду до этого (т.е. в
