Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
(36-2°)
где а -безразмерный параметр связи (36.14). Из (35.20) следует, что в
результате взаимодействия электрона с продольными оптическими фононами
дно зоны понижается на величину ahQ, а его
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
261
эффективная масса увеличивается
а
6 Г
(36.21)
Естественно, что приведенные формулы справедливы только при слабой связи
электронов с фононами, т. е. при значениях а<1.
Увеличение массы электрона обусловлено перемещением вместе с электроном
локальной поляризации кристалла, которое на языке теории возмущений
рассматривается как поглощение и испускание виртуальных фононов. При этом
среднее число виртуальных фононов, сопровождающих движение медленного
электрона (k-^Qo), в состоянии (36.15) определяется выражением
36.2. Метод промежуточной связи в теории взаимодействия электронов с
фононами. Безразмерный параметр а (36.14), который характеризует силу
электрон-фононного взаимодействия, порядка 3 - 6 для типичных ионных
кристаллов. Исследование такого взаимодействия нельзя провести ни методом
теории возмущений, справедливой при а<^1, ни методом сильной связи,
справедливой при а>6 и использующей адиабатическое приближение.
В работе Ли, Лоу и Пайнса [133] был развит вариационный метод, применимый
к исследованию случая промежуточной связи а <6, не опирающийся на
использование адиабатического приближения. Исследовалось медленное
движение электрона, окруженного облаком виртуальных фононов оптической
ветви колебаний в ионных кристаллах. Щиэлектрик рассматривался как
непрерывная колеблющаяся среда с 'одной ветвью продольных колебаний
частоты Q (q) = Q. Действие периодического потенциала решетки на электрон
учитывалось путем введения эффективной массы электрона т*.
В указанных приближениях оператор энергии электрона в координатном
представлении
<v) = (%0 ^b^bg 1|5*0>.
я
Подставив (36.15) и используя приближение
1 2 т*
D(k,q) й8(?а + 05)2 '
после перехода от суммы к интегралу получаем
<v>
(36.22)
262 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. VII
оператор энергии колебаний решетки (без учета нулевых колебаний)
7/ph = 2*G&JV
я
Оператор электрон-фононного взаимодействия согласно (36.11) можно
записать в виде
Нш =^F(g) [ я
где
г / ч е Г 2пШ
/<")=-r*rV-pr-
С оператором энергии системы
Я = Яе1 + Ярь + Я!п( (36.23)
коммутирует оператор полного импульса
Р=р + ^]ЛдЬ^Ьд. я
С помощью канонического |преобразования с унитарным оператором
получается новый оператор Гамильтона
&=5+7/5=ш- [р - 2 w*Y +2nQb+^+2рм +b$'
\ я I я я
не содержащей координат электронов.
Далее производится второе каноническое преобразование с унитарным
оператором
^ = ехрр/(?)(&9-М]>
в котором неизвестные функции выбираются из условия минимума функционала
?(/")) = <0;|№<5f't/|0>=-5irP'+22F(")/(") +
<зб.24>
\ я I я
в состоянии 10) без фононов > и с определенным значением полного момента
Р.
АДИАБАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
263
Найдя неизвестные "функции f(q) из условия
MJLML-n
6/ (9)
и подставив их в (36.24) после некоторых преобразований, которые изложены
в работе [133], получают при условии Ра <2/л*Ш следующее выражение для
нижайшей энергии, соответствующей малому полному импульсу:
тронов с фононами. При а <^6 выражения (36.25) и (36.26) естественно
совпадают с (36.20) и (36.21), полученными с помощью теории возмущений.
Число виртуальных фононов, 'окружающих электрон в состоянии (без реальных
фононов) с полным импульсом Р, определяется выражением
В случае сильной связи (а>1) исследование взаимодействия электронов и
фононов методом теории возмущений невозможно. Однако в связи с малостью
отношения масс электронов и ионов можно использовать адиабатическое
приближение, при котором в качестве малой величины рассматривается не
энергия взаимодействия электрона с фононом, а кинетическая энергия
движения ионов в кристалле. Такое приближение было введено в теорию
молекул Борном и Оппенгеймером [134] (см. также [5], § 129). В случае
кристаллов вследствие наличия трансляционной симметрии адиабатическая
теория возмущений потребовала значительных изменений. Такая модификация
адиабатической теории была сделана в работах Боголюбова [130] и Тябликова
[135]. Ниже мы изложим основные результаты этих работ на примере
исследования взаимодействия электронов с полем поляризации продольных
оптических фононов в ионных кристаллах.
В координатном представлении гамильтониан электрона в приближении
эффективной массы т* имеет вид
где
Е(Р) = - аН?1 + Р2/2М* + ..., М* -т* (1 +Vea)
(36.25)
(36.26)
- эффективная масса электрона, окруженного облаком виртуаль-
е
связи элек-
(v>=(о о>=2^2^)=т(1^
ч
ч
2 M*hQ
§ 37*. Адиабатическая теория возмущений при наличии трансляционной
симметрии
264 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. VII
Гамильтониан фононов в представлении чисел заполнения
^ph = 2 (bkbk + Х/г), = (37.2)
к
Суммирование выполняется по всем значениям волновых векторов в первой
зоне Бриллюэна. Гамильтониан взаимодействия электронов и фононов
