Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Для преобразования гамильтониана (38.1) к новым операторам введем вначале
вспомогательный оператор
Н (а, р) = es<a-bW(a, b)e~s<a-bK
*) При взаимодействии с акустическими фононами такими предельными
энергиями элементарных одноэлектронных возбуждений будут энергии Е (k),
при которых скорость электрона сравнивается со скоростью звука в
кристалле.
§ 38] МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 275
С помощью (38.7) получаем
#(". P) = 20J№,a*(X* + IjQ?P9P? +
* ?
Ч~ У F (ft" Q')(a* + ?(r)*P? &*oc*+gPJ)> (38.9)
к, Ч
Тогда первоначальный гамильтониан (38.1) выражается через новые операторы
a*, р* с помощью унитарного преобразования
Я(а, р) = е-5(а'Р)Я(а, p)es(a'S), (38.10)
где
5(а, Р) = 2 ф(*. q)№+qa$q-atak + q№). (38.11)
*, ч
Мы интересуемся только собственными значениями (38.10), соответствующими
одноэлектронным и однофононным возбуждениям, поэтому в (38.10) опустим
члены, содержащие произведения четырех и большего числа операторов а*,
которые описывают остаточное взаимодействие новых элементарных
возбуждений, определяемых собственными функциями типа a*|0), a*_?PJ|0> и
т. д. В этом приближении
Я (a, P) = 2?(*)aia* + 2Q,PJP* +
k q
+ 2 (Ф (*. Я) а* + ?a*P? {["(ft + ?) - ш (ft) - ?2] Ф (ft, я) +
*> я
+ ^^--[D(ft + ?)-D(ft)]<D(ft, ,)} + э. с.), (38.12)
где
? (ft) = со (ft) - 2D (Л) + 2ф2(* - Я, Я)Ы* ~ Я) - ю(*) + Й], (38.13)
ч
°(к) = ^2Р(к-Я>Я)Ф(к-Я,Я), (38.14)
Я
Q, = Qjl +^[ФЧк-Я, Я)~ Ф2(*. ^)]aia*J^Q. (38.14а)
Приравнивая нулю в (38.12) множитель, стоящий перед операторами,
линейными относительно Р9, получаем уравнение
[oj(ft-ftf) - со (ft) - ?2]Ф(Л, q)-\-
+ Я) = Ф (ft, q)[D(k + q)-D(k)\, (38.15)
из которого в первом приближении следует
Ф, (ft, Я) = ^Р (ft, q) [о) (ft) + Q - со (ft + 4-)]-1. (38.16)
276 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. VII
Уравнения (38.13)-(38.15) определяют функцию Ф(Л, д) и энергии новых
элементарных возбуждений системы. Заменим в (38.13) функцию Ф (ft, q)
приближенным выражением (38.16), тогда при учете (38.14) получаем
?(ft) = co(ft)-D(ft). (38.17)
При учете (38.17) уравнение (38.15) преобразуется к виду
Ф(к, q) = ^=F(k, g)[E (k)-E(k + g) + QY\ (38.18)
Подставив (38.18) в (38.14), мы получим следующее нелинейное
дисперсионное уравнение, определяющее энергии новых элементарных
возбуждений:
Е{к)-ш{к) = ^^{к-д, д)[Е(к)-Е(к-д)-Щ-\ (38.19)
я
С помощью (38.7) легко установить связь между собственными состояниями
полного гамильтониана (38.1) и гамильтониана Н0
(38.2)
1 -т2ф2(Л_<7'q)
<4|0>-
q)at-&\0), (38.20)
k
PJ|0) = 6J|0). (38.21)
Соотношение (38.20) указывает, что новое элементарное возбуждение,
порождаемое оператором а*, можно рассматривать как электрон, движущийся с
импульсом к в окружении виртуальных фононов. Поэтому состояние а*|0)
будем называть "одетым" электроном.
Состояния а*|0) и РJ10)' являются одночастичными. Они обладают,
соответственно, энергиями Е (к) и Q и импульсами к и q и соответствуют
гамильтониану
Нг = 2 Е (k) atak + Q 2 Р"Р"" (38 ¦22)
k q
полученному при частичной диагонализации полного гамильтониана (38.1).
Из уравнения (38.19) следует, что даже при большой дисперсии электронов,
т. е. при
шах со (к) - min со (к) >¦ Q,
и при большой силе связи F (q) энергии ? (ft) новых одночастичных
элементарных возбуждений удовлетворяют неравенству
тахЕ (ft) - minE (ft) < ?2. (38.23)
§ 38] МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 277
Поэтому фуйкции (38.18), определяющие каноническое преобразование (38.7),
всегда остаются ограниченными для всех значений к и q. Если же
использовать каноническое преобразование
(38.10) с функциями (Pi (к, q) (38.16), содержащими в знаменателе
неперенормированные энергии электронов со (к), то для некоторых значений
к и q выполняется равенство
а> (к) - (о (к + q) - Q = 0
и каноническое преобразование теряет смысл. Этот недостаток имеет также
каноническое преобразование Фрелиха [139], с помощью которого получался
основной гамильтониан теории сверхпроводимости (см. § 39).
В первом приближении дисперсионное уравнение (38.19) заменяется
уравнением
Е1 (k) - (r) (k) = jf'^F2(k - q, q) [Ег (к) - a>(k - q) - Q]'1, (38.24)
ч
которое тождественно с дисперсионным уравнением, возникающим в
однофононном приближении в методе функций Грина [140, 141]. Однако в этом
случае при условии (38.66) неравенство (38.23) для функции E1(k)
удовлетворяется не всегда.
В случае локальных электронных состояний дисперсия отсутствует, т. е.
ft>(fe) = ft>0. Следовательно, F (k, q) = F(q) и выражения (38.16),
(38.14) и (38.17) заменяются, соответственно,
Ф(к, q) = F(q)/QV~N,
ч
Ч
В этом случае каноническое преобразование (38.10), где Я = со о ^ а*а* +
Q ^ + -L ^ F (q) [а?++ а?а* + ?Р+]
к q к, q
И
S(aP) = -L 2 F (^)[а* + ?а*Р?-а*а* + "РЯ. (38.25) *. ч
осуществляет точное приведение оператора Гамильтона к диагональному виду
Н(а, = + <38'26)
Каноническое преобразование с антиэрмитовым оператором типа
(38.25) использовалось в работах [142, 143]. Однако такое
преобразование оправдывается только при <л(к) = щ.
