Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Давыдов А.С. -> "Теория твердого тела" -> 102

Теория твердого тела - Давыдов А.С.

Давыдов А.С. Теория твердого тела — М.: Мир, 1979. — 646 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 233 >> Следующая

283
- сокращенное обозначение сумм произведений ферми-операторов;
В^) = (тШгУ2 \
а
- малая величина, определяющая электрон-фононное взаимодействие.
Интегрирование ведется по одной элементарной ячейке. Буквами "э. с." в
(39.6) и в последующих выражениях указываются члены, эрмитово сопряженные
ко всем предыдущим.
Оператор взаимодействия (39.6) не зависит от спинового состояния
электронов, поэтому в дальнейшем мы не будем явно учитывать спиновый
индекс а во всех выражениях.
Оператор (39.6) получен в предположении, что ионы в решетке движутся как
единое целое, что D (q) зависит только от q и не зависит от Л и что
колебания ионов в решетке делятся на продольные и поперечные для всех
значений q, поэтому взаимодействие (39.6) осуществляется только с
продольными фононами. Без этих упрощений вычисления сильно усложняются.
Такое усложнение оправдывается только при необходимости получить
количественные результаты.
Вследствие взаимодействия электронов с фононами меняются энергетические
состояния электронов и фононов. Нас будет интересовать только поведение
электронов. Изменение спектра фононов под влиянием электронов будет
учитываться только косвенно путем использования экспериментального
значения для скорости звука s.
Итак, система электронов, взаимодействующих с фононами, будет описываться
оператором Гамильтона
Н' = Н0-ГНМ, = + (39.8)
к q
Ны определяется формулой (39.6).
Для оценки роли электрон-фононного взаимодействия проведем предложенное
Фрелихом [144] преобразование оператора (39.8), чтобы исключить возможно
большую часть оператора взаимодействия. Преобразованный гамильтониан
имеет вид
H = e-iSH'eiS = H' + i[H', S]-~[[H', S], S] + ... (39.9)
Оператор преобразования, содержащий малое взаимодействие, выбирается в
виде
5 = 5+ = 2Х Sq = ygbg + y+gb+, (39.10)
<7
где
Уд = 2 Ф(*. q)aUk-q. (39.11)
к
284 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. VII
Функции Ф (к, д) связаны с взаимодействием. Их явный вид будет определен
ниже.
Подставляя (39.8) и (39.10) в (39.9), находим, учитывая (39.6) и собирая
члены одинакового порядка малости,
Н = Но+^{1[Но, + + S] + Hq), S,]+ ...
ч ч
(39.12)
Оператор (39.12) легко вычисляется, если учесть, что ферми-операторы ak,
а* коммутируют с бозе-операторами bq и что из свойств ферми-операторов
следует равенство
\clkQ?, Um(Xn\ - blmO'kQ'tt ^kn&niQ-l' (39.13)
Используя (39.11) и (39.13), вычислим предварительно коммутаторы
[аХак, у?] = Ф(Л, q)aiak-q - <$(k-\-q, q)ai+qak,
[at-qak, y?] = Ф (ft, q) (ai-qafc-q - atak),
[atak-q, у9] = Ф(Л-<7, q) а?а*.2?-Ф (k + q, q)at+9a^q,
\Pqbqr, bqr] = bq.
Используя найденные соотношения, вычислим в (39.12) члены, линейные
относительно энергии взаимодействия:
i [Но, 5?] -(- Hq -
2](<*-<*-? + Йа>9)Ф(Л, q) 1 D(q)
V~N
bqaqak-q + 3. с. (39.14)
Выберем функции Ф(Л, q) так, чтобы все выражения (39.14) обращались в
нуль, т. е. положим
Ф (ft, 0) = -^("*_"*_, + й?2,)-1. (39.15)
Используя (39.15), находим
~Wo, Sq]-\-Hq = -~=^D(q)bqaiak-q + 3. с.
k
Следовательно,
Яы = /2[(у[Я0, 5^ + Я?), S,] =
Я
= - (Q)[bqatak-q, у b*]-D* (q)[bqat-qak, y^J + э.
с.}.
Ь,я
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
285
Усредняя полученное выражение по вакуумному состоянию фононов, находим,
используя (39.11) и (39.15),
Проведенные преобразования Фрелиха имеют смысл только при условии, что
функции (39.15) являются малыми, так как в противном случае ряд (39.9)
будет расходиться. Чтобы расширить область применимости полученного
результата, следует в соответствии с § 38 в (39.15) заменить энергии
электронов е* перенормированными энергиями Ek, которые находятся при
решении нелинейного уравнения
Выражение (39.16) можно сохранить для части #int, не содержащей значений
q, при которых знаменатель (39.15) близок к нулю. Если выделить в Н\1\
члены, для которых (39.16) не имеет смысла, то гамильтониан электронов
металла (с точностью до квадрата параметра взаимодействия) в вакуумном
состоянии относительно фононов (низкие температуры) принимает вид
Второеч слагаемое в (39.17) можно интерпретировать как энергию
взаимодействия между электронами, обусловленную обменом виртуальными
фононами. При этом каждое слагаемое в сумме соответствует взаимодействию
между электронами, имеющими квазиимпульсы Лк и hk'^=h(k - q). Это
взаимодействие соответствует притяжению, если | - tk | < Поскольку
= то
для электронов, имеющих противоположно направленные импульсы, т. е. при
k' = k - q =- k, знаменатель в слагаемых суммы (39.17) принимает
минимальное значение - (hQg)2. В этом случае притяжение между электронами
будет максимальным.
Вследствие принципа Паули переход от состояния k возможен только в
незанятое состояние k' = k - q. При абсолютном нуле оно должно быть
состоянием с энергией над поверхностью Ферми. Следовательно, условие
в (39.17) может осуществляться
только для электронов с энергией, близкой к энергии Ферми, т. е. при
39.2*. Каноническое преобразование Боголюбова в теории сверхпроводимости.
В теории сверхпроводимости учитывается только максимальное эффективное
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 233 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed