Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
излучение q частотой Йа)^г2Д, при исследовании экспоненциального
изменения затухания звука и др.
Возможность появления энергетической щели в спектре элементарных
возбуждений металла, по-видимому, впервые была указана Купером [145], он
показал, что основное состояние металла, соответствующее заполнению всех
одноэлектронных состояний вплоть до энергии Ферми, является неустойчивым
при наличии слабого притяжения между электронами. Такое притяжение может
приводить к группировке электронов в пары (эффект Купера) с выделением
энергии спаривания, которая близка по величине энергии щели. Электроны',
входящие в отдельную пару, сравнительно далеко разнесены в пространстве
(^-10~4сл"). Таким образом, внутри объема, занимаемого одной парой,
оказываются центры масс около 106 других пар.
*) Известны, однако, примеры, когда сверхпроводимость обнаруживалась и в
случае отсутствия щели в спектре элементарных возбуждений [155-157].
Однако такие случаи обычно связаны с неоднородностью кристалла: поверх-
ность, магнитные примеси и др. [158]. Простейшим примером может служить
"поверхностная сверхпроводимость".
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
281
В обычном электронном газе единственным взаимодействием между электронами
является кулоновское отталкивание. Электроны в металле взаимодействуют не
только между собой, но и с положительно заряженными ионами. Положительные
ионы экранируют кулоновское отталкивание. При некоторых условиях смещение
ионов из их равновесных положений приводит к образованию слабого
положительно заряженного облака между электронами, которое и
обусловливает их притяжение. Величина притяжения зависит от частот
смещения ионов из их равновесных положений. Поскольку частоты зависят от
массы ионов, то два металла, состоящих из разных изотопов одного и того
же элемента, должны иметь разные температуры перехода в сверхпроводящее
состояние. Этот изотопный эффект был обнаружен экспериментально [159,
160]. Открытие изотопического эффекта подтвердило гипотезу Фрелиха [144]
о важном вкладе колебаний решетки в электрон-электронное взаимодействие.
Ниже мы рассмотрим только основные идеи теории сверхпроводимости со
слабыми токами и в отсутствие магнитных полей. Для более полного
знакомства можно рекомендовать книги [161-165].
39.1. Эффективное взаимодействие между электронами, обусловленное
фононами металла. Фрелих [144] показал, что взаимодействие электронов с
фононами может приводить к эффективному взаимодействию между электронами.
Ниже мы изложим основные положения его теории.
В идеальной решетке движение электрона в зоне проводимости определяется
блоховской функцией (см. §,19)
Ф *а = у==е",и*ИХо, (39.1)
которая представляет плоскую волну, модулированную функцией ut, (г),
удовлетворяющей условию периодичности (г) = м* (/• + я), где л -вектор
решетки, Л -волновой вектор; Хс - функция спинового состояния. Ее явный
вид и вид функции (г) нам далее не потребуется.
Электронная волновая функция всего металла, содержащего N электронов в
объеме V, является антисимметричным произведением N функций Ф*,0.
Основное состояние соответствует заполнению ^состояний, лежащих в Л-
пространстве внутри поверхности Ферми! Будем предполагать, что эта
поверхность лежит далеко от границы зоны и изотропна, т. е. представляет
собой сферу радиуса k0. При возбуждении электроны из состояний \k\<ko
переходят в состояния \k\>k0.
Если <* - энергия состояния электрона с квазиимпульсом Uk, то в
представлении вторичного квантования гамильтониан системы электронов (с
точностью до постоянного слагаемого) имеет
282
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
ВИД
Но = У, (39.2)
А, (Т
где а#а, Яка - ферм невские операторы рождения и уничтожения квазичастиц.
Для определения оператора взаимодействия с фононами решетки металла
учтем, что при смещении положительного иона, занимающего п-е место в
решетке, на величину энергия
взаимодействия электрона с решеткой w (г - п) изменится на
ft
величину- nW (г - п). Следовательно, в представлении вто-
П
ричного квантования оператор электрон-фононного взаимодействия можно
написать в виде
Hint = ^ Yfo ? In [ V"a> (г - п)\ Y (г) d3r =
П
= - J tf+' (г) ^w(r-n) (v"|") t (г) d*r, (39.3)
П
где Y -оператор, выражающийся через ферми-операторы а*ст и блоховские
функции (39.1) с помощь^) равенства
Ч = ~^акае"'гик(г)у>е. (39.4)
А, а
Оператор смещения ионов %п определен (7.22), 'следовательно,
(v"|")=i^Y тт ^1яп ~ ь^~и,я) • (39-5>
ч
где bq, bq - бозе-операторы; s - скорость продольных звуковых волн,
соответствующих волновому вектору q, так как только продольные волны дают
вклад в (39.5) и для них <o(q) = sq.
Подставляя (39.4) и (39.5) в (39.3) и учитывая, что сумма 2ехР (*@я)
равна N, если Q = 0, и равна нулю, если Q Ф О,
П
получаем окончательное выражение операторов электрон-фонон-ного
взаимодействия в представлении чисел заполнения
Н\а\ - Hqg, Нqa =bqPqaЭ. С., (39.6)
Я, о
где
Pgtr - У, - а. айка (39.7)
к
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
