Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
1 .V
2V U \е(к,) k, ki
> 1,
наряду с тривиальным решением уравнения (39.29) имеется нетривиальное
решение, при котором Дг/ 0 и металл при низких температурах не обладает
сопротивлением, если выполняется неравенство pflk0-<tn*A, где k0 -
волновой вектор поверхности Ферми, р - средний импульс электрона в
токовом состоянии.
Вычислим значение Д* для простейшего случая, когда v**, равно постоянному
значению v, если k и ki лежат внутри интервала k0 - q, коЛ-Q (Аг0 -
волновой вектор сферы Ферми), и равно нулю, когда k a ki лежат вне этого
интервала. В этом случае согласно (39.27) внутри указанного интервала
значение Д* также постоянно (Д* = Д), и уравнение (39.29) принимает вид
1 =1г2[Л2 + е2(Л)]"1/2' ko-q^k^k0 + </. (39.34)
к
Если Д больше расстояния между соседними подуровнями зоны проводимости
е(к), то сумму можно заменить интегралом, используя равенство
2 ••• =(2п)"3У ^ ... d3k. к
Полагая \i = hskl/2m*, имеем
е (k) ^ h2k0 (к - к0)/т *.
Далее d3k = 4nkldk и равенство (39.34) принимает вид
•-55[*+(№я*
- Q
Вычисляя интеграл и разрешая полученное уравнение относительно Д, находим
д = 2m^q_ exp (- G/v) - G = -^?J(39.35)
m* 1- exp (-G/v) ' m*k0 v '
Непосредственно из (39.35) следует, что это выражение нельзя получить
путем вычисления эффекта взаимодействия между электронами методом теории
возмущений. Теория возмущений дает поправки к энергии в виде степеней
малой энергии взаимодействия v, а величина Д стремится к нулю, как exp (-
G/v), и при значениях v^O не может быть разложена в ряд.
С целью выяснения физического смысла величины Д выразим энергию основного
состояния Е0 через Д. Подставляя (39.27) и
290
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
(39.28) в (39.23), находим
е{к)[]ЛЧ*) + Л? -с№)]-{ай
У(к)+ Ь\
Если Д* = 0, то Е0 = 0 и функции канонического преобразования-сводятся к
(39.32) для тривиального решения уравнения (39.29). Если А* Ф 0, то
Е0<^0. Таким образом, при АцфО нетривиальные решения (39.29)
энергетически выгоднее тривиальных.
Возбужденные состояния системы соответствуют "рождению" квазичастиц,
зависимость энергии которых от импульса определяется формулой (39.31).
Последнюю при j.i - Il2ky2m* можно записать в виде
При больших разностях k2 - kl зависимость энергии квазичастиц от импульса
такая же, как для свободных частиц с массой т.*. Однако при приближении
|й| к значению й0 (граничный волновой вектор сферы Ферми) энергия
возбуждения стремится не к нулю, а к конечному пределу
Следовательно, величина А*0 определяет разность энергии между основным и
первым возбужденными состояниями системы электронов. Если Д*0 Ф 0, т. е,
при наличии энергетической щели, основное состояние более устойчиво по
отношению к внешним воздействиям. В этом-случае электрон может отдавать и
получать энергию порциями, не меньшими Д*0.
При А* Ф 0 функции (39.28) канонического преобразования одновременно
отличны от нуля, следовательно, новые фермиев-ские операторы А+ и А,
соответствующие рождению новых элементарных возбуждений (квазичастиц),
относятся к состояниям, являющимся суперпозицией электронных и дырочных
состояний одноэлектронного приближения. Такие элементарные возбуждения
являются коллективными сильно скоррелированными состояниями двух
электронов, обусловленными их спариванием. Рассеяние (торможение)
электронов требует разрыва пары. Следовательно, оно возможно только в том
случае, когда кинетическая энергия электронов, связанная с появлением
тока, будет превышать энергию спаривания. Если р - средний импульс
электрона в токовом состоянии, то изменение энергии < (й) = й2й2/2т* по
абсолютной
величине будет равно р'щ = ptik/m*, поскольку k'^k0, то
сверхпроводимость должна наблюдаться при phkjm* ¦<. А.
Е(к)
(39.36)
WmE(k) = Л*0 при |й|->|й0
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
291
Сверхпроводящее состояние возникает только в таких металлах, для которых
энергия электрон-фононного взаимодействия достаточно велика. С другой
стороны, чем больше электрон-фононное взаимодействие, тем больше
сопротивление металла в нормальном состоянии, так как при этом велика
вероятность рассеяния электронов с испусканием и поглощением фононов.
Этим качественно объясняется известный факт, что хорошие проводники
(серебро, медь, золото) не переходят в сверхпроводящее состояние. Сильное
электрон-фононное взаимодействие, приводящее к большому сопротивлению в
нормальном состоянии, способствует образованию сверхпроводящего
со'стояния, лишенного сопротивления.
Выше рассматривались основные черты микротеории сверхпроводимости без
учета кулоновского взаимодействия между электронами. Последовательная
теория сверхпроводимости металлов с учетом кулоновского взаимодействия
была развита Боголюбовым [148, 149]. С этой теорией можно познакомиться
по работам [165, 166].
ГЛАВА VIII
ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
§ 40. Структура краев зоны проводимости и валентной зоны некоторых
полупроводников
К полупроводникам относится множество материалов. Наиболее широко в
