Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
268 ЭЛЕК.ТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. VII
Условие разрешимости уравнения (37.24в) сводится к равенству
"Фо [ Е2 - #2 I фо) - (фо I Я! I %" Ф0 = 0.
Подставив значение (37.28), получаем уравнение второго приближения
(<Фо|Я2|Фо>+ 2 <ф01 Я11 1 Hl 1 ф0^ - Еа\ Фо (¦ ¦ ¦, qk, ...) = 0,
V v^o 0 v /
(37.29)
определяющее функции Ф0(..., qk, •••)¦ При учете (37.26) и (37.216)
находим
<ф! I Hi I Фо) = 2 QkAkJvо (*).
к
Подставляя это значение и (37.21в) в уравнение (37.29), находим (т 2
" 2 +
\ k А, /
+ т 2+ivt (т kI)] [v-h ~iVh (i kI)]- ?г}Фо=°* (37-30)
где
Bkt = AkAi ^ (37.31)
v^tO V °
Выберем входящие в уравнение (37.30) неопределенные пока комплексные
величины vk так, чтобы исчезли линейные по импульсам рь члейы. Для этого
положим в (37.30)
рк = л* + а*.
Тогда условие равенства нулю коэффициентов при л* принимает вид
[dl* - ivk{~ Л/j] - ик ^ v't (Ы) <i a'-i - ivt (д л/)] = 0,
(37.32)
где
&k = ak - vk^{M)ui&i. i
Пользуясь свободой выбора ah, потребуем, чтобы а* = 0. Тогда
(37.32) принимает вид
*kVh fk/\ - uk ^ v*i (kl) i iVi{~ II
= 0.
§ 37] адиабатическая теория возмущений 269
Это уравнение удовлетворяется, если
tkvk(jkl} = fl(kV)uk, (37.33)
где V- вектор скорости, определяемый через вектор полного импульса с
помощью уравнения
I=n^k{kV)\uk\2rkl, (37.34)
k
которое получается из (37.33) после умножения его обеих частей на kjUt и
использования соотношений ортогональности (37.12). Функция ик определена
выражением (37.26).
Из равенства (37.34) следует
{Vl) = n^(kVf\uk\H-kl. (37.35)
к
После этих преобразований уравнение (37.30) принимает вид
Н2 =~2 [(VV) + у {qkq-k-\- л_1 *л*) - ^ Bktquqi, (37.36)
к к, I
где
п'/г= пк -v%^](kl) utnt. (37.36а)
i
Рассмотрим теперь частный случай радиально симметричных решений. В этом
случае (37.35) можно записать в виде
1=M*V, (37.37)
где
м* = т I-f-1 Uk I2 = т 24-!А* I2! WI2- (37-38) к к к к
Согласно (37.37) вектор V определяет скорость перемещения "одетого"
электрона. При этом оператор (37.36) принимает вид
+ у 2ik ('qkq- k + ^ "
k
- ^(B-k.iq-kqi-^Ckin-kni), (37.39) к, i
где
[<7*. = Cki = ~;uku2t. (37.40)
Оператор (37.39) преобразуется к диагональной форме
Я2 = ^0, + Ц^(Ю^ (37.41)
270 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. VII
путем перехода к бозевским операторам рождения ?? и уничтожения ?ц новых
фононов, которые выражаются через операторы старых фононов равенствами
?и = 2 W Як + i(ptl ^ "*)•
•* л (37.42)
^ = W 2 (Х^ (- к) qk - f'qv (*) я*). k
При условиях ортогональности
2 фц (ft) X* (к) = 6^, 2 4>v (к) %* (I) = 6",
* v ' (37.43)
S%i(*)Tv(*) = 0, Ц Ф,, (ft) Ф? (/) = <>
k V
новые операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям [?ц| ?v] -
^(ivi [Сц> ?v] = О*
Используя (37.41) и (37.42), вычислим коммутатор
1Ь, (37.44)
k
С другой стороны, если подставить в коммутатор операторы (37.42) и
(37.36), то получим
[?". #*] = тр|21 ^*^(*)"2^^C
(Jt-Д -f-
+ |wp (к) - 2 в". "Ф (- m)j (37.45)
Сравнивая (37.44) с (37.45), находим систему однородных уравнений
2(ft) - <*Фц (ft) 2 Е/г, тфц ( fft)"
(37.46)
2^цФц (ft) = еден (- ft) - 2 (/")•
т
Из условия разрешимости этой системы уравнений определяется энергия новых
фононов.
Обратное к (37.42) преобразование имеет вид
Я * = yf 2 [Ф* (*) Sv + Ф? (- ft) ?],
(37.47)
"*=w2IlXv(*)K"Xv("*) u-
V
§ 37] адиабатическая теория возмущений 271
Подставив эти значения в (37.39) и сравнив с (37.41), при учете
(37.46) находим
2
М*
к
Uk
!2
Итак, во втором приближении теории "одетый" электрон и новые фононы не
взаимодействуют между собой. Взаимодействие между ними проявится только в
третьем приближении теории. Энергия "одетого" электрона зависит от
полного импульса
Р = \Ч.
С точностью до второго приближения она равна Е (Р) = Е0 + ?Е:Г = Е0 +1?2
- В_,. * - 1 и* I2) + •
(37.48)
где Е0 - собственное значение энергий электрона в нулевом приближении и
¦МеВ = М*1~* (37.49)
- эффективная масса "одетого" электрона, которая согласно
(37.38) и (37.27) выражается через волновые функции и частоты фононов
нулевого приближения.
Для нахождения явного вида уравнения, определяющего функции фо и энергии
Е0 нулевого приближения, подставим (37.21а) и (37.26) в уравнение (37.25)
й2 д2 XI I Аь |2 (•
- ^ ^ 1 j ф2 (рх) eik (o-oi) d3pi - w
2m* dp2
где
Mb I2
Фо (p) = o,
(37.50)
w = E0 + ^ [ § Ф§ (P) eikQ d3pj.
fo
Вместо решения нелинейного интегродифференциального уравнения удобно
воспользоваться вариационным принципом, т. е. надо приравнять нулю
вариацию функционала
J W = 2^ \ (5) d3p ~ 2 S Ф" (Pi) e'*(0_0l>(Po(P) d*P d3Pi-
k.
при условии
5 Ч5" (р) rf3p = 1 • '
Учитывая равенство уту = ^ ^ 6ХР и переходя в
функционале J {ф0} от суммы по k к интегралу, преобразуем его
272
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
при учете (37.7а) к виду
•'(?")¦" \ [ *(!>)-*-У-fV.Jp,. (37.51)
2т* J \ dp / 2е J | р -pi |
Если уравнение [(37.50) имеет не один выделенный невырожденный дискретный
уровень, то для каждого из них можно применить развитую выше теорию.
