Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
и , ч \ Г 2яШь ехр (ikr)
Hini = -гф (г) = - е Z1/ (bk + bU) - !.....- (37.3)
к У eV \k\
зависит от координат электронов г и бозевских операторов Ьк, Ы,
удовлетворяющих перестановочным соотношениям
[bk, bj] = 8ki, [Ьк, bt\ = 0.
Если р =- - оператор импульса электрона, то оператор
полного импульса системы
P = p + nj]kbibk. (37.4)
к
Следуя Боголюбову [130], введем формально малый параметр g с помощью
равенства
HQk = ?tk, (37.5)
чтобы в дальнейшем было удобно учитывать малость частот колебаний
фононов. Перейдем далее от бозевских операторов Ьк к комплексным
операторам координат
Qk = lbk^brk; Qk = Qk (37.6)
и канонически сопряженным импульсам
- = [Qh, piS^ibki.
Подставив эти значения в (37.2) - (37.4), получим гамильтониан
кристалла
Н = Не + Hph + Hint =
____да . 1 V . л л , V л л ~ibr 1 ы V , &
2т*
¦ v+у 2 <*"*"-* + 2 2 '* щкг.:
(37.7)
где
е Г 4n(t
'-WFir' <37-7а>
§ 37] АДИАБАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ 265
Оператор полного импульса (37.4) при этом принимает вид
p=p-^2kQkw- (37-8)
k
Оператор (37.7) инвариантен относительно группы преобразований /*->/* +
a, Q*-^Q*exp( - ika), (37.9)
что соответствует трансляционной инвариантности задачи относительно
смещения на произвольный вещественный вектор а. Для дальнейшего удобно с
помощью равенств
/* = " + р, Qk'={Uk + lqk)e-ikn, qk = q*k (37.10)
перейти от переменных г, ..., Q*, ... к новым переменным п, р, ..., qt,
среди которых'только вектор п подвергается тран-
сляции при применении группы преобразований (37.9). Так как новых
переменных на три больше, чем старых, то необходимо наложить три
дополнительных условия. Выберем эти условия в виде
^kviqk = 0. (37.11)
к
Входящие в (37.10) и (37.1 ^'вспомогательные функции "* = "** и
i)k = vZk удовлетворяют условиям ортогональности
2 kjkiUhVt = 8,у. (37.12)
к
Эти функции будут определены ниже. При учете (37.10) дополнительные
условия (37.11) принимают вид
2>(Q*e'-*n-"*)y! = 0. (37.13)
к
Из (37.13) следует, что вектор п, входящий в (37.10), зависит только от
старых переменных Q*, но не зависит от г. Учитывая далее, что dquldr = 0,
имеем
?=-?• (37-14>
Производные по Qk выражаются более сложным образом
д ^ dqt д дп д
dQk Ad dQk dqt dQk dn '
(37.15)
Для определения входящих в это выражение производных dn/dQh,
продифференцируем (37.13) по Q*. Тогда имеем
kv%eikn + i ^ IU -щ-) v*iQi exp (iln) = 0.
266 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. VII
При учете (37.10) и условий ортогональности (37.12) из последнего
равенства следует
-Щ = ikvte"" - Е 21 (/ -щ) viqi-
Решая это уравнение последовательными приближениями, находим = ivte""|k-
l^l (Ik) v*qt +.. j. (37.16)
Оператор полного импульса Р выражается через производную
- ihВ этом можно убедиться, сравнив выражение (37.8) с равенством,
полученным из (37.10):
-ini = -in i ~12ftkQ><
Из (37.10), (37.13) и (37.16) также следует
= + ¦ (37.17)
где
р'к = рк - vt 2 (Ы) (37.18)
I
Подставив выражения (37.16), (37.17) в (37.15), находим
+ (37.19)
где
/=|А (37.19а)
С помощью (37.10), (37.14) и (37.19) можно найти явное выражение
оператора энергии (37.7) в новых переменных. С точностью
до величин порядка ?2 имеем
Н = Но + 1Н1 + 12Н2, (37.20)
Н° = " 2S- w + 2 {AkU^Q + Т i Uh I2) • (37-21 а)
к
Я1 = 2<?*(Л^в + (*"1), (37.216)
к
н* = т 2W-*+[&+iv%{тгк/)] [р-к ~1щ [т к/)]} ¦ (37-21в) k
Оператор (37.20) содержит только "внутренние" переменные р, ... ...,
<7*,... и не содержит переменной трансляционного движения п.
§ 37] адиабатическая теория возмущении 267
Кроме того, в (37.20) входят пока еще неизвестные комплекс-цые функции Uk
и у*. Волновое уравнение
(Яо + ^ + ^Яг -?)г|) = 0 (37.22)
можно решать методом теории возмущений. Для этого положим ^ = ^оЧ- &Ф1 "Ь
Е = Е0 + ?,Ei -j- 12Ез. (37.23)
Тогда получим систему уравнений
(Н0-Е0)% = 0, (37.24а)
(Яо-?о)^1 = (^1-Я1)г|)о, (37.246)
(Но - Eg) i|>2 - (Ег - H2)i\)o-\- (Ei - Hi) грх. (37.24в)
Поскольку оператор Я0 действует только на переменные р, то решение
уравнения (37.24а) можно искать в виде
ifov = <Pv(р)Фо(• • •, Як, ¦¦¦),
где Ф0 (..., <7а, ...) - неизвестная функция, которая будет определена
ниже. Функции <pv(p) удовлетворяют уравнению
[Я0 - Е$) (р) = 0, (<pv(p)|<pv(p)> = l. (37.25)
Пусть Ео и фо (р) - энергия и волновая функция основного
невырожденного дискретного уровня (37.25) уравнения (37.25). В этом
случае функция ф0 может быть выбрана действительной. При этом выполняется
тождественно равенство
$ Фо (Р) [Я0 - ?Ц] % (Р. • • •. <7*. • • •) d3p = 0.
При учете этого равенства из (37.246) следует
§ фо (рН^-Я^Фо (р)#р = 0.
Выберем теперь функции и*, входящие в оператор Яь так, чтобы выполнялось
равенство
J Фо (р) Яхфо (р) d3р = 0.
Подставив в это уравнение значение (37.216), мы убедимся, что оно
удовлетворяется, если ?i = 0 и
и% - - AbJoo(k)/fkt (37.26)
где
Jvо (k) = \ фу (р) е'*°ф0 (р) d3р. (37.27)
Из уравнения (37.246) находим волновую функцию первого приближения
% = 2 ф" (р) ф0 + ф0 (р) фь (37.28)
v^O
где Фх - произвольная функция переменных ..., qk, ...
