Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
где eS^int определено (36.1),
<ЯГе = ±-т*Н ' (36.4)
- кинетическая энергия электрона с эффективной массой т*,
^'Ph = -1^ § [Р2 И + &гРг Н) (Рг (36.4а)
- энергия продольных колебаний поляризации кристалла. Значение
параметра
|л = 4яе/Й2 (36.5)
находим при сравнении потенциальной энергии поляризации кристалла в
(36.4а) с выражением (35.4).
Импульсы ре и П (г), сопряженные обобщенным "координатам"
ге и Р(г), определяются выражениями
----дЖ _т*'Г" д
дге дР (г)
Используя эти значения, из выражений (35.4) и (36.4а) находим
классические функции Гамильтона
^e = -^Pi, ^Ph = y + (36.6)
*) Легко показать, что (36.1) эквивалентно выражению - j Р (г) D (г) d3r,
где D (г) = V -' j - вектор индукции электрического поля, создаваемого
электроном, находящимся в точке ге. Действительно, с учетом (36.2) имеем
- § Р(г)В(г)<Рг = -± § Vq,Vp-f =- 4лб (г - ге).
Учитывая равенство V2 ^ ^ ,¦¦ =-4я6 (г - ге), получаем
\P(r)D(r) d3r = e<p(re).
258 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕИСТВИЕ [ГЛ. VII
Переход от классических функций (36.6) к квантовым гамильтонианам
осуществляется заменой обобщенных координат и импульсов соответствующими
операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям
iht, Ре]] = 1Щ; [PiH, tlj(r')] = iHbijb(r - r'). (36.7)
В представлении чисел заполнения с бозевскими операторами рождения bq и
уничтожения bq продольных акустических фононов с волновым вектором q
операторы Р(г) и П(г) имеют вид
Р (г) == * ^ ~)/~ 2цКЙ jf]" е1дГ ^4
4 ____ ' (36.7а)
П (г)=2 Y-^r ш1eiqr -ь"]'
ч
Бозевские операторы bq удовлетворяют перестановочным соотношениям
lbq, bq1]=8qqt.
Переходя в (36.6) к операторам и используя (36.7а), получим гамильтониан
колебаний поляризации в кристалле в представлении чисел заполнения
Hph = '?lhQ(bfiq + 1/2)/ (36.8)
Я
Для перехода от е и &ЙГint к операторам в представлении чисел заполнения
введем операторные электронные функции (см. § 21)
^ ^ = yf 2 аь ехр {-1кГе^ k
где а* -операторы, удовлетворяющие фермиевскиМ перестановочным
соотношениям
{ak, а*-} = 0, {ak, аЦ = ака$,apak =
Используя правила перевода операторов координатного представления к
представлению чисел заполнения (§ 21), получим оператор электронных
состояний
Не = J V \ге) Ч (ге) 6?ге = ^a%ak. (36.9)
k
Учитывая равенства (36.2), (36.5) и (36.6), находим
_еФ = -е|Л^-2т^IPq-VLje14'', е>0. (36.10)
ч
§ 36] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 259
Переходя в (36.10) от координатного представления к представлению чисел
заполнения электронных состояний, получим окончательно
н int = - J ф (г,) еу (г,) ? (г,) dV* =
= ^ion {Я) &k + qak (bq~\~b-[9)1 (36.11)
k,q
где
^ion(9) = -^, = (36.12)
|4| " не
Если в качестве единицы энергии выбрать энергию фононов ЙО и волновые
векторы электронов и фононов, измерять в единицах Qо = У 2т*О/ft, то
полный гамильтониан Н = Не-\-Нрь + # int можно записать в безразмерных
единицах
¦щ=2 +2 (ь^4+т)+
6 п ___
+ ш%У^гта*+1'а*{Ь''-ь')' (36-13)
^1.4
где
Е=-?- 4=t- 8=ы& "=f/w- <3614>
а -введенный Фрелихом безразмерный параметр, характеризующий связь
электрона с длинноволновыми продольными оптическими фононами в ионных
кристаллах. Значения параметра а для некоторых ионных кристаллов
приведены в табл. 12.
Таблица 12
Значения параметра связи электронов с продольными оптическими фононами в
ионных кристаллах
AgBr Nal NaCI I^CI Ki RbCI
т*/т 1,78 3,25 2,78 1,85 2,11 1,78
а 2,12 8,64 9,19 8,01 8,85 8,51
36.1. Смещение края зоны проводимости ионных кристаллов и изменение
эффективной массы электрона. Взаимодействие электрона с продольными
оптическими колебаниями в ионных кристаллах так же, как и взаимодействие
с акустическими фононами
260 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. VII
в ковалентных кристаллах (см. § 34.2), приводит к перенормировке его
спектра. Поскольку еще не построена общая теория такой перенормировки без
использования теории возмущений (см., однако, §§ 37 и 38), рассмотрим
этот эффект методом теории возмущений для кристаллов с малой константой
взаимодействия (36.14), когда связанных состояний с дискретной внутренней
энергией типа поляронов (§ 35) в кристалле не образуется.
В нулевом приближении состояние электрона и vq фононов
fi2fc2
описывается функцией | ft; v^), соответствующей энергии -Ь
+ tlQvq (без учета энергии нулевых колебаний ионов). При учете
взаимодействия (36.11) в первом порядке теории возмущений функция j k; 0)
заменяется функцией
i|)ft0 = |*; + U)(b-Qi l?l tfint | ft; 0>D_1 (ft, q),
я
(36.15)
где
D (ft, q) = E{k-q)-E(k) + n^=~(q2 + Ql-2kq), (36.16)
Qo=yT2m*?^ {k q, lq[Hintlk. 0) = -?=-. (36.17)
Энергия состояния (36.15) определяется выражением
2 *>Р. (36.18)
9КФ 0)
При малых значениях k (k^Q0) можно написать
D(*. q) "S(92+Q§) L + M<?2+<?§)2 + "T 1 '
где }x -косинус угла между Ли q.
Подставив (36.17) и (36.19) в (36.18) и переходя от суммы к интегралу,
получим
^ т
% (ъ\ - № т* IF i2 f Г 1 | 4ft2^2 | I Л
W 2m* nm ) lq2JrQl + 3(g3+Q2)3 + • •-J aQ-
о
Подставив значение F из (36.12) и полагая qm = со, получим
