Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 38*. Метод канонических преобразований в теории взаимодействия
электронов с фононами
Взаимодействие электронов с продольными оптическими фононами в ионных
кристаллах часто не является слабым. В связи с этим представляет интерес
развитие методов изучения этого взаимодействия, не опирающихся на теорию
возмущений. Одним из таких методов является метод канонических
преобразований, который развивался во многих работах (см., например,
[124, 136- 138]).
Метод канонических преобразований удобен при исследовании стационарных
состояний систем взаимодействующих частиц. В связи с этим при
исследовании взаимодействия электронов и фононов методом канонических
преобразований можно пользоваться только при низких температурах и при
малых энергиях электронов, при которых еще невозможно рождение и
поглощение реальных фононов. Вблизи порога рождения оптических фононов
следует ожидать особенностей, которые не описываются каноническим
преобразованием.
Взаимодействие фононов с электронами зоны проводимости с изотропной
эффективной массой т* описывается гамильтонианом *)
Я = Яо + Ять (38.1)
где
я0=2(r)(*)4^+2ад-^, (38.2)
* ч
Hint =-F(k, q)ai+qak(bq - btq), (38.3)
k, q
где
<38-4)
при взаимодействии электронов с продольными акустическими волнами (см. §
34); 0 -параметр, определяющий деформацион-
*) Здесь и ниже в этом параграфе используются единицы, при которых Й = 1.
МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
273
ный потенциал (34.13); М - масса атомов, входящих в состав элементарной
ячейки кристалла; caq - скорость продольных звуковых волн;
F(k, = е>0, ' (38.4а)
\q\\ vs )
при взаимодействии электрона с продольными оптическими колебаниями в
ионных кристаллах (см. § 36); е - параметр, определяемый выражением
(35.2); v - объем элементарной ячейки, й - частота оптических фононов;
a(k) = k2/2m* (38.5)
- дисперсия электронов проводимости вблизи центра зоны Бриллюэна в
приближении эффективной массы.
Ниже мы будем рассматривать взаимодействие электронов только с
продольными оптическими колебаниями в ионных кристаллах и пренебрежем
дисперсией оптических фононов, т. е. положим =
Оператор энергии (38.1) коммутирует с оператором полного импульса
р=2 Ьа%ак+2 qb4bg (38.6)
А Я
и оператором полного числа электронов
Ые = ^а^ак. (38.6а)
k
Следовательно, число электронов и полный импульс являются интегралами
движения и их значения можно использовать для характеристики собственных
значений и собственных векторов гамильтониана (38.1). Число фононов не
сохраняется. Ниже мы рассмотрим только состояния с одним электроном в
зоне проводимости .
Вектор состояния |0) описывает систему без частиц. Состояние системы с
одним электроном на дне зоны проводимости и без фононов назовем вакуумным
состоянием с нулевой энергией. Оно характеризуется вектором состояния Фо
= ао|0), который определяется равенством
ап | Ф0> = bq ] Ф0) = О
для произвольных д и k Ф 0.
Без учета взаимодействия возбужденные состояния кристалла характеризуются
векторами состояния
at (nq! nqi\ .. Г1/2 (&+)"" (&+)"?• ... |0) при произвольных k, д, дь ...
и целых ч'ислах tiq, nqi, ... Если шах со (Лг) - mino (k) > Й,
(38.66)
274
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕИСТВИЕ
[ГЛ. VII
то многие из этих состояний вырождены. Например, векторы состояний а*|0)
и at^qbq |0) соответствуют одной энергии, если выполняется равенство
w* = + Q.
Такое вырождение не позволяет использовать теорию возмущений для изучения
энергетических состояний гамильтониана
(38.1). Ниже будет изложен метод канонических преобразований,
предложенный в работе автора и Пестрякова [137, 138], который позволит
получить низкоэнергетическую часть одночастичных элементарных возбуждений
системы при любой величине параметра взаимодействия F в (38.3).
Взаимодействие (38.3) снимает вырождение. В кристалле возникают новые
элементарные возбуждения, которые являются сложной суперпозицией прежних
одноэлектронных и фононных состояний. Электрон движется в кристалле
вместе с локальной поляризацией кристалла. Образно говоря, электроы
окружен облаком виртуальных фононов. Дисперсия новых одночастичных
элементарных возбуждений -"одетых электронов" такова, что всегда
выполняется неравенство
Е (k) - E (fti) < Q
для любых значений k и klt лежащих в первой зоне Бриллюэна. При энергии
возбуждения Е (k) - min Е (k) > Q состояния системы не будут
стационарными одночастичными - возможен их распад на более простые
одночастичные состояния *).
Новые одночастичные (нераспадающиеся) элементарные возбуждения можно
получить путем диагонализации оператора (38.1) при его каноническом
преобразовании
Сlk = eS(a,b)ake-S(a,b)y = ?S (", b)b<fi-S (а, Ь)> (38.7)
которое генерируется антиэрмитовым оператором
S(a, b) = Yi ф(л> Я) (at+qCikbq - atak + qbq). (38.8)
к, q
Неизвестные вещественные функции Ф(Л, q), входящие в (38.8), выбираются
так, чтобы после перехода к новым операторам а* и р, в гамильтониане не
содержались члены, линейные по новым фононным операторам р?.
