Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
связанном ls-состоянии с равной вероятностью находится внутри сферы
радиуса г0. Потенциальная энергия электрона заряда е, равномерно
распределенного по сфере радиуса г0 и находящегося в среде с эффективной
диэлектрической постоянной е, равна -е2/ег0, а кинетическая энергия (в
приближении эффективной массы) /г2/г2/2/п*. По соотношению
неопределенности k=l/r0, поэтому полная энергия
Е (го) = h2/(2m*rf) - е2/ег0.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
249
Значение г0, минимизирующее Е(г0), равно г0 = Н2е/т*е2. Ему соответствует
энергия
?" = -т*е4/( 2/й2). (35.5)
35.1. Адиабатическая теория взаимодействия электронов с оптическими
фононами. Используя вариационный принцип, Пекар [123] развил более
строгую теорию сильного взаимодействия электронов с изотропным ионным
диэлектриком. Кристалл рассматривался как непрерывная среда, описываемая
вектором поляризации Р(г). Кинетическая энергия движения ионов не
учитывалась (адиабатическое приближение).
Следуя Пекару [123], запишем энергию электрона в кристалле в виде суммы
трех слагаемых
Е tt>, Р\ = И (•- ~ V2) ф (г) d*r +
+ 2ле ^ Р2 (г) d3r-\P (г) D (г) d3r, (35.6)
где
D (г) = е jj | ф (п) |2 (35.7)
- вектор индукции электрического поля, создаваемого в точке/*. Два
первых слагаемых в (35.6) определяют энергию электрона и поля
поляризации, последнее -их взаимодействие.
Выражение (35.6) следует рассматривать как функционал относительно
функций 'ф(г) и Р(г). В основном состоянии кристалла этот функционал
должен иметь абсолютный минимум при независимых вариациях т|з (/*) и Р(г)
при условии сохранения нормировки
$|т|>|2*Р/-=1. (35.8)
Приравнивая нулю вариацию функционала (35.6), обусловленную изменением
Р(г) при фиксированных i|), получим связь между Р (г) и D (г) в виде -
Р(г) = П(г)/4ле, (35.9)
где D(r) с помощью (35.7) выражается через г|э(г). Подставив
(35.9) в (35.6), находим функционал, зависящий только от
^(г),
J ^ (')} = ^ I I Ч ?d*r -$ D* (г) d3r. (35.10)
Функционал (35.10) определяет энергию кристалла, в котором поляризация
согласована с состоянием движения электрона, описываемым функцией ^(г). В
частности, электрону, находящемуся в зоне проводимости (в приближении
эффективной массы),
250
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
соответствует функция
Ч>* (г) = ууе'-*г.
В этом состоянии неоднородная поляризация кристалла отсутствует-и J
(г|з*) = h2k2/2m* s* 0. Электрону энергетически выгодно находиться не в
зоне проводимости, а в состоянии г|з (/*), соответствующем движению
электрона в ограниченной области кристалла. Это наиболее выгодное
состояние можно найти из условия минимума функционала (35.10).
Для минимизации функционала (35.10) Пекар [123] применил
прямой вариационный метод, аппроксимируя г|з (г) функцией,
содержащей ряд параметров. В простейшем случае можно использовать
функцию, зависящую только от одного параметра. Например, можно выбрать
функцию, удовлетворяющую условию нормировки в виде
Фо= !t^° ехр -------(35.11)
У 7 nrl \ г0 j
Подставив (35.11) в (35,10) и (35.7), из условия минимума находим
Го - 2 Шг]т*е2. (35.12)
При этом функции (35.11) соответствует значение функционала J 1>о) = -
0,054Еат*/те2, (35.13)
Т716(r)
где Etj = -p-"=:27,2 эв - атомная единица энергии. Выражение
(35.13) определяет полную энергию кристалла. Ее абсолютное значение
соответствует энергии тепловой "диссоциации" полярона, в результате
которой электрон переходит на дно зоны проводимости и кристалл
деполяризуется.
Связь электрона с продольным полем поляризации считается сильной, если
| J (о}з0) | == 0,054Еат*/тв^ 0^0,025 эв.
Используя значения е, из табл. 11 получим для кристаллов Nal и Си20,
соответственно, значения У{г|з0}, равные 0,2 и 0,05 эв.
С помощью (35.9) и (35.7) можно вычислить поляризацию кристалла,
соответствующую состоянию (35.11):
(35.14)
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
251
Подставив это значение в (35.3), находим сферическую потенциальную яму, в
которой движется электрон:
Чтобы вычислить энергию основного ls-состояния полярона в фиксированной
потенциальной ям? (35.15), надо подставить значения (35.14) и (35.11) в
(35.6), тогда получим
Значение (35.16) равно энергии, которую надо затратить при "быстром"
переводе электрона из поляронного состояния в зону проводимости. При
таком переходе электрона поляризация кристалла сохраняет значение,
которое она имела в состоянии (35.11). После перехода электрона
поляризация исчезнет и выделится энергия
Если яма (35.15) достаточно глубока, то в ней возможны и другие
дискретные уровни электрона. Они могли бы проявиться при фотопереходах из
основного ls-состояния i|?0, так как в результате большой массы ионов
фотопереходы происходят без изменения положения ионов - принцип Франка -
Кондона. Дипольные фотопереходы из основного ls-состояния возможны только
в р-состояния. Энергия и волновая функция нижайшего р-состояния при
фиксированной поляризации (35.14), соответствующей ls-co-стоянию, могут
быть найдены прямым вариационным методом с помощью функционала (35.6), в
