Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
с g>gi., по-видимому, не реализуются.
Рис. 45. Зависимость числа виртуальных фононов от силы связи (g)
электронов с фононами для двух значений параметра неадиабатичности.
При возрастании параметра неадиабатичности у большой локальной деформации
начинает препятствовать кинетическая энергия движения атомов. При
значениях у 5^1 кривая зависимости ? от \/g становится монотонной (рис.
45), следовательно, дискретное изменение состояния электрона исчезает. В
этом случае нет резкой грани между "локализованными" и
"нелокализованными" состояниями.
Зависимость 1 /g от ?, изображенная на рис. 45, напоминает изотермы
уравнения Ван-дер-Ваальса, определяющие давление реального газа как
функцию его объема. При этом формально роль температуры играет параметр
неадиабатичности у, роль давления l/g, а роль объема ?.
При ?* 1 число виртуальных фононов, окружающих электрон,
мало и согласно (34.73) эффективная масса электрона, взаимодействующего с
фононами, мало отличается от эффективной массы т* электрона проводимости.
244
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
При 1 число виртуальных фононов, окружающих электрон, велико. При этом
согласно (34.71) Б (к, q)^flca\q\ и t,k слабо зависит от к. В этом случае
из (34.73) следует
Е{к)-Еф) = -па&^&*"-\)ъ^, (34.85)
т
где
М* - т*.
При ge. значение 1/у. Поэтому при у = 0,1 и g> gc масса М*
превышает массу свободного электрона проводимости более чем в тысячу раз.
В этом случае электрон практически неподвижен - "самолокализован".
Малая ширина энергетической зоны свободного электрона (большие т*), малая
константа упругости Р кристалла и большой параметр а, характеризующий
связь электрона с деформацией решетки дают согласно (34.83) большие
значения g. По-видимому, такие условия чаще реализуются для дырок и реже
для электронов.
Возможность существования свободных и локализованных состояний электрона
(дырки), из которых одно стабильно, а другое метастабильно и изменение их
относительной роли при изменении параметров кристалла весьма важно'для
объяснения оптических и других свойств кристаллов, связанных с изменением
состояния движения электрона (дырки).
34.5. Электрон, локализованный вблизи дефекта в ковалентном кристалле.
Реальные кристаллы обычно содержат примесные атомы и дефекты
кристаллической решетки. Такие дефекты идеального ковалентного кристалла
могут служить центрами локализации электрона. Рассмотрим, как деформация
решетки, обусловленная взаимодействием электронов с продольными
акустическими колебаниями, влияет на локализацию.
Состояние электрона, локализовавшегося вблизи дефекта ковалентного
кристалла при учете его взаимодействия с продольными акустическими
колебаниями, исследовалось в работе Дейгена [121]. Здесь мы изложим
простейшую теорию, опирающуюся на адиабатическое приближение и
континуальную модель кристалла.
Предположим, что в кристалле имеется локальный дефект, который оказывает
на электрон силовое воздействие, описываемое потенцальной энергией U (г).
Энергия системы: кристалл и электрон, находящийся в состоянии i])(/*) и
взаимодействующий с относительной деформацией р (г), изображается
интегралом
Е М>, Р} = ^ [г? ~ +
+ уРр 2(r) + U(r)r(r)]d3r. (34.86)
§ 341
ПОТЕНЦИАЛ ДЕФОРМАЦИИ В КОВАЛЕНТНЫХ КРИСТАЛЛАХ
245
Эта энергия является функционалом относительно функций г]) (г) и р(г).
Абсолютный минимум функционала (34.86) определит стационарное состояние
электрона (г) и соответствующую деформацию кристалла р(/*).
В состоянии с фиксированным (г) вариация функционала (34.86) по отношению
к изменению р(г) дает
рИ=|^2И-
(34.87)
Подстановка (34.87) в (38.86) превращает Е {i]), р} в функционал, з-
ависящий только от ij) (г):
сРг. (34.88)
Предположим для определенности, что потенциальная энергия имеет
кулоновский вид
U(r) = .
Ze2
(34.89)
где Ze - эффективный заряд локального центра, е -диэлектрическая
проницаемость кристалла. В этом случае минимум функцио-
Рис. 46. Энергия локализации электрона вблизи дефекта в ковалентном
кристалле.
нала (34.88) легко найти прямым вариационным методом. Полагая для
простоты, что пробная функция
(34.90)
зависит только от одного вариационного параметра |я, преобразуем (34.90)
к виду
?(n) = Ln2-/l|x3-Bn, (34.91)
246
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
где
Ze*V2
(34.92)
е
Функционал (34.91) в единицах В2/4Ь изображен на рис. 46 как функция l =
2L/B. Кривая при /4 = 0 не учитывает локальной деформации кристалла,
вызванной взаимодействием электрона с акустическими колебаниями. Вторая
кривая соответствует значению A - L2/AB.
Естественно, что проведенные вычисления справедливы только для значений
|х<0,1 (что соответствует %<Z0,2L/B), когда еще справедлива континуальная
модель и выражение (34.89).
§ 35. Электрон-фононное взаимодействие в ионных кристаллах
При исследовании акустических колебаний в ионных кристаллах (гл. III)
отмечалось, что они не отличаются от соответствующих колебаний в
ковалентных кристаллах. Взаимодействие электронов с акустическими
