Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет уравнению
|Л2-^б(со, к) Л{гее(со, к) = 0. (54.12)
,2
452
ДИСПЕРСИЯ И ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
Потенциал
A force (to" ft) :
4я
с
[ft2-"'e(co, ft)] ft)
характеризует вынужденное поле, возникающее в кристалле под влиянием
сторонних токов. Подставив это значение в (54.9), имеем
i4f0rce (f, t) =с \ da $ d?k& (w, ft)/(co, k) exp [i(kr - to*)], (54.13)
где
& (со, ft) = 4л [ft2c2 - co2e (со, ft)]-1
(54.14)
- гриновская функция фотонов.
Векторный потенциал свободного поля (без сторонних токов) y4free((r)> ft)
согласно (54.12) отличен от нуля только для таких
значений со и ft, которые удовлетворяют уравнению
[ft2-
ft)
б)
Рис. 68. Кривые дисперсии двух поляритон-ных ветвей (сплошные кривые).
а) При отсутствии пространственной дисперсии, 6) при наличии
пространственной дисперсии.
= 0. (54.15)
Из выражения (54.14) следует, что уравнение (54.15) определяет полюсы
гри-новской функции фотонов.
Решения уравнения (54.15) могут быть двух типов.
А. Пространственно-однородные решения. Еслив(54.15) волновой вектор ft
веществен, то получим дварешения
щ (ft) = со/ (ft) - t'Yi (ft),
/= 1, 2, (54.16)
с положительными вещественными частотами соi(k). Это частоты двух ветвей
элементарных возбуждений в кристалле с волновыми функциями
At (г, t) = Aoe yi{k)t {i[kr - al(k)t]).
(54.17)
Такие элементарные возбуждения называются поляритонами. Функции (54.17)
пространственно-однородны и в бесконечном объеме при фиксированном
времени могут быть нормированы к дельта-функциям. Поляритоны обладают
дисперсией со/ (ft) и средним временем жизни т/ (ft) = \/yi (ft).
Дисперсия двух ветвей
§ 55] ВЫНУЖДЕННОЕ ВРЕМЕННОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ПОЛЯ В КРИСТАЛЛЕ 453
поляритонов в области малых значений волновых векторов указана на рис. 68
для случая локальных и экситонных возбуждений с положительной эффективной
массой. Таким образом, поляритоны можно .рассматривать как элементарные
возбуждения кристалла, которые соответствуют полюсам гриновской функции
фотонов (54.14) в нижней полуплоскости комплексной переменной со при
вещественном значении волнового вектора k.
Б. Пространственно-неоднородные решения. Если в уравнении (54.15)
фиксировать вещественное значение частоты, то получим комплексные
значения волнового вектора
ki (со) = Qi (со) -}- /Лг (со). (54.18)
Они определяют пространственно-затухающие электромагнитные волны в
кристалле
At(r, t) = A^~Al{a)r ехр {i[Qi(a) r-at]}. (54.19)
Эти решения уравнения (54.12) будем называть нормальными
электромагнитными волнами. Решения (54.18) нельзя нормировать в
бесконечном крж^алле. При Л (со)#0 они не соответствуют одному значению
волнового вектора, поэтому не являются элементарными возбуждениями
кристалла. Естественно, что при отсутствии поглощения функции Л (со) в
(54.18) и у (k) в (54.16) равны нулю. Тогда нормальные электромагнитные
волны и поляритоны тождественно совпадают.
В реальных условиях поляритонные возбуждения всегда затухают (вследствие
излучения и перехода их энергии в тепло).
§ 55. Вынужденное временное изменение пространственно-однородного поля в
кристалле
Предположим, что сторонний ток с произвольным вещественным волновым
вектором Q включается в момент времени / = 0 в кристалле бесконечных
размеров так, что
ЫЛ t) = j0&(t)elQ2, jy(r, t) = jz{r, 0 = 0.
В этом случае отличная от нуля компонента фурье-образа плотности тока
имеет вид
jx (со, k) = /0б (Q - kz) б (kx) б (ky)/2n.
Под влиянием тока в кристалле возникает электромагнитное
поле, которое к моменту t>0 определяется согласно (54.13)
выражением
Ax{z, t) = C2~eiQz ^ d(?>& (со, Q)e~m, (55.1)
где
^(о), Q) = Q2c2_(02e ((0i qy (55.2)
454 ДИСПЕРСИЯ И ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
Для вычисления (55.1) надо знать явный вид функции е (со, Q).
Воспользуемся для этого выражением (54.2). Мы рассматриваем
электромагнитное поле с длиной волны, значительно превышающей размеры
постоянной решетки кристалла. В этом случае зависимость частоты экситонов
от волнового вектора можно представить в виде
Q2(Q) = Q^-f aQ2c\ (55.3)
где а =з Ш0/(т*с), т* - эффективная масса экситона. Далее будем
предполагать, что т* > 0. При Q0 = 25 ООО слг1 и гп*, равной массе
свободного электрона, значение а = 6-10_6. Дисперсия фотонов в кристалле
в интересующей нас области частот определяется выражением
со g = cQ/n0, ti0=Ve0,
где с -скорость света в вакууме.
Определим резонансную" частоту Q, из условия равенства частот и волновых
векторов экситона и фотона в кристалле. При резонансе значение волнового
вектора
\Qr\ = Q,rnJc, Q, == Q (Qr). (55.4)
Рассмотрим поле с волновым вектором Q = Qr, тогда диэлектрическую
проницаемость (54.2) можно' преобразовать к виду
e(co, Q) = e0 + -2--...... , y,==y(Q,). (55.5)
Qr - (i)2 - 2iyrQr В этом случае (55.1) преобразуется к виду
9 * 03 2
Ax(z, Y) = ~e11?2 J dc(55.6)
- 00
где
? (со, Q) = (Q(r) - со2) (Q? - со2 - 2iyrQr) - /2со2/е0. (55.7)
Корни уравнения ?(&), Q) = 0 при всегда выполняющемся условии n0Qr^f
