Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
случае частота электронных возбуждений в кристалле не зависит от к, т. е.
Q* = Q0 и v = 0. При этом уравнение
N2 - г (со) = О,
(56.12)
где
е (со) == г' -f te" = е0 -
Р/2ш
(56.13)
со - й0 - *Y
460
ДИСПЕРСИЯ и ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
имеет два корня N = ±(п + Ы), выражающихся через показатель преломления
1/2
п = У?[^е''
+ е"Че'
и коэффициент поглощения
1
У2
Уе'> + е"8 -в' J/2.
(56.14)
(56.14а)
В области резонанса эти выражения принимают простой вид:
1
У 2 1
У2
КеЩ-/4/(4й§у2) +е0 eg+/4/(4Q6Y2) ~ ео
1/2
9
1/2
Вдали от резонанса |со - Q0|^>v имеем
/2
п^п0-
УР
4л0со (со - Q0) '
4я0о) (со - Q0)2 '
(56.15) (56.15а)
(56.16)
Из (56.9) следует (при использовании теории вычетов) для области Os^zs^d
векторный потенциал
А* (z> 0 = ['"ехр [ - Т - l'ft) г] +
+ id ехр " (х - ш) (г - d)] . (56.17)
Учитывая равенства Е--и Н=то\А, находим значения
отличных от нуля компонент напряженностей полей внутри кристалла
Ех (г, t) = e~mt Е0 ехр - z (х - in) -f- Ed ехр у (z - d) (х - in)
Ну (г, t) = (п -f ix) e~mt [я0 exp - ~ z (x - w)J -
- Еаexp[~ (г-d) (x-m)
, (56.18)
где
2л
Ео,=Ца =____________
jo id C(n + iv)
определяют амплитуды волн, распространяющихся, соответственно, в
положительном и отрицательном направлениях оси z. Значения Е0 и Еа (и,
следовательно, /0 и jd) можно выразить через амплитуду напряженности
электрического поля волны, падающей нормально на поверхность кристалла г
= 0 из вакуума.
56]
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В КРИСТАЛЛЕ
461
Обозначим амплитуды напряженностей полей падающей (г), отраженной (г) и
прошедшей (/) через кристалл волн частоты со, соответственно, буквами
?<'>, ?<'>, Я(г); ЕНиК Из условия
х у х у х у J
непрерывности тангенциальных составляющих на границах вакуум - кристалл
следуют равенства
Учитывая, что
+ Е{х] = E0 + Ed ехр [i ~ (п + гх)],
Hf + Hyr) = (п + iх) |?0 - Ed ехр j i ~(n + ix) j}, Ex} - E0 exp J^t
ix) + Ed,
(rt + ix){?0exp i~(n-\- ix) J - |.
hW.
Пу ¦
T-iV).
1-1
7(0
?(r)
и H
(56.19)
(56.19a)
можно решить систему уравнений (56.19) и найти коэффициенты отражения и
прохождения света через кристалл. Коэффициент прохождения определяется
равенством
Т ((r)) =
?<?>
16 (л2 + х2) ехр
-2 - xd с
2ю . ----Xi
[(1+n)2 + x2]20-2ре с cos
2 Р +
(ond
- * - Md
+ р2е с
}'
(56.20)
где
-Nt
1+JV1'
Р2 =
1-Л^
1+ЛЧ
- положительный корень (56.13). Коэффициент отражения
Я(со);
р(г) X 2 р2 1 - ехр ^2/ ~ JVjdj
/7(0 сх 1 - р2 ехр (2/- Nidj
В полубесконечном кристалле (d = со) для частот со, при которых хф 0,.
коэффициент отражения имеет простой вид:
/?((c)) =
1 -
l+Nt
В этом случае отсутствуют волны, распространяющиеся в направлении - г, и
плотность потока энергии внутри кристалла, усредненная по времени,
определяется выражением
2сох
S(z)^j^(ExH*y + E*xHy):
cn0 I Е0 !2 ' 8л
(56.21)
Op- (*
Ах (2> ^ = -со J dN 7 s (со, АГ)
462 ДИСПЕРСИЯ и ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
В области резонанса согласно (56.15) при условии f2 <^2Qoy?o плотность
потока энергии уменьшается экспоненциально
SM- 5(0) ехр (-^). (56.22)
56.2. Вынужденное излучение в кристалле при наличии пространственной
дисперсии. При наличии пространственной дисперсии скорость экситонов
(56.11), соответствующая частоте со, отлична от нуля. В этом случае
(56.9) при учете (56.10) преобразуется к виду [359]
Г i- №z -t-(z-rf)/v] 2е:Ш_ С ^^f[^2-2S(M)-B0]bv с +jae'c .
(56.23) где
S (со, Af) = iV4 - 2 [е0 + ? (со)] iV2 + е0 + 2? (со) е0 -
Рсп0/(иоу2), (56.24) ? (со) ^ [со-Q^ + iy И]. (56.25)
При этом значения
?2*, = 0*4-^ (56.26)
соответствуют скорости и частоте экситона с волновым вектором сопо/с и
положительной эффективной массой т*.
Корни уравнения S (со, N) = 0 при фиксированной вещественной частоте ш
равны
и = ео+ ? (СО) ± Y ? И + ^. (56.27)
Вычисляя (56.23) с помощью теории вычетов, находим векторный потенциал в
кристалле (O^z^d) /
Ax(z, t) =
= ~ е~ш 2 Bi N [/о ехр [i " tf,z] + jd ехр [г " N, (d - z)]],
(56.28)
где коэффициенты В: (со) однозначно определяются через вычеты
подынтегрального выражения в (56.23) и равны, соответственно,
р. /'(л)--.! ~~ ~~ 8° R - 2?(со) - е0
N,(№ - №) ' N" IiVi - '• (56.29)
Ni (Щ-Щ) ' ' NziNi-Ni) •
1 дАх " _ дАх
с dt ' ПУ~ дг
Используя равенства ЕХ= ~ЦНу = -jf, находим отличные
§ 56] ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В КРИСТАЛЛЕ 463
от нуля компоненты напряженностей полей в кристалле Ех(г, t) - e~'a'
{folyс NlZ + qe° N''*\ +
Hy (z, t) = e~,ш Uo Г Nie * * NlZ + qN2e
где
?й=?А=7".Н, (56.32)
с
В2(т) fiVI - 2? (ш) - е0J
^(и) iVa I2g (ш)+**50-JVJJ *
(56.33)
Учитывая значения (56,27), можно преобразовать это выражение к более
простому виду:
____(СО) _ (со) [е" - N\ (co)J ^
ч-В1{ со) N2 (со) [jV§ - е0] *
Согласно (56.28), (56.30) и (56.31) в кристалле конечной толщины
распространяются волны в положительном (с амплитудой, пропорциональной
Е0) и отрицательном (с амплитудой, пропорциональной Ed) направлении оси
г. Каждая из этих волн в свою очередь является суперпозицией двух типов
