Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
относительное уменьшение световой энергии в единице объема в единицу
времени согласно (42.6), выражается через мнимую часть диэлектрической
проницаемости
K(Q, со) = со Im е (Q, со). (53.1)
i
В § 46 было показано, что мнимая часть диэлектрической проницаемости,
обусловленная изолированной экситонной полосой, в изотропном кристалле
определяется выражением
e(Q, co) = e0-^G(Q, ш), (53.2)
где е" - диэлектрическая проницаемость, обусловленная другими
электронными возбуждениями;
00
G(Q, (r)) = -]Л G(Q, t) ё(r)1 dt (53.3)
-СО
-фурье-образ запаздывающей функции Грина экситонов; со = = со + 1'г].
Функция Грина в приближении нулевой температуры для экситонов (энергия
экситонов- значительно выше средней энергии теплового движения) согласно
(48.3) равна
G(О, t) = -/0(t){0\[BQ(t), fi$(0)]|0>, (53.4)
здесь черта означает усреднение по состояниям фононов при
температуре Т;
BQ(t) = eiH"nBQe~iHun
- оператор уничтожения экситонов в состоянии Q в гайзенбер-говском
представлении; Н - полный гамильтониан системы.
Раскрывая в (53.4) коммутатор, легко убедиться, что
G(Q, t)= -i0(O5 (Q, 0, (53.5)
где 0 (0 - ступенчатая функция, равная единице при t^O и равная нулю при
/<0;
5 (Q, 0 = <01 BQ(t) ВЬ (0)| 0> -(53.6)
- временная корреляционная функция экситонных операторов. Фурье-образ
5 (Q, со) корреляционной функции (53.6) определяется выражением
00
5 (Q, 0 - 2jx § S(Q,Q)e~iai dQ. (53.7)
438 ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ (ГЛ. X
Подставив функцию Грина (53.5) в (53.3) при учете (53.7), находим
равенство
СО
G(Q, = { ЩЖЮ' (53 8)
2л J со - Q
- СО
которое называют спектральным представлением запаздывающей гриновской
функции экситонов (в приближении нулевой температуры экситонов).
Используя тождество (х + гт])-1 = g?- шб (л:), можно преобразовать
равенство (53.8) к виду
ImG(Q, со) = - j-S(Q, со). (53.9)
Равенства (53.1), (53.2) и (53.9) позволяют выразить коэффициент
истинного поглощения света
К (Q, со) н=со Im е (Q, со) - '^^-S(Q, со)
непосредственно через фурье-образ временной корреляционной функции
экситонов.
Диэлектрическая проницаемость e(Q, со) определяет с помощью уравнений
Максвелла закон прохождения света частоты со через кристалл. В § 56 будет
показано, что при нормальном падении света на поверхность кристалла
внутри него распространяются две нормальные плоские волны с разными
показателями преломления nt и коэффициентами поглощения ун. Однако при
выполнении неравенства
!(r)о!/2<с1^>?2 (53.10)
заметную амплитуду и более слабое затухание имеет только одна волна с
показателем преломления п и коэффициентом поглощения х определяемыми
равенством
[п (со) + in (со)J2 = е (Qr, со),
где волновой вектор Qr находится из равенства энергии экситона E(Qr)
энергии фотона hcQr/Yе0 в кристалле
Е (Qr) = hc\Qr\lY е0.
В неравенстве (53.10) величина ^ характеризует обратное время жизни
экситона; (c)" = tlQr/m* - скорость экситона с волновым вектором Qr и
эффективной массой т*; /2 = 4ne2mF/v - коэффициент, характеризующий
взаимодействие между экситонами и фотонами. В этом равенстве е и т -
заряд и масса электрона;
V - объем элементарной ячейки кристалла; F - сила осциллятора
квантового перехода в экситонное состояние.
МЕТОД МОМЕНТОВ В ТЕОРИИ ПОГЛОЩЕНИЯ
439
Величина у возрастает с температурой, поэтому при температурах,
превышающих некоторую "критическую", неравенство (53.10) выполняется. В
очень чистых и совершенных кристаллах сернистого кадмия "критическая"
температура порядка 40-50 °К, в кристаллах антрацена "критическая"
температура порядка 20-30 °К. При наличии примесей и дефектов
кристаллической решетки критическая температура понижается.
Развиваемый ниже метод моментов можно применить только при температурах,
превышающих "критическую". Во всех следующих выражениях, определяющих
коэффициент истинного поглощения света К (Q, со), значение волнового
вектора Q выбирается равным Qr. Для ультрафиолетового и видимого света
Для упрощения записи индекс г у волнового вектора Q будет опускаться.
Временную корреляционную функцию (53.7) можно представить в виде
бесконечного ряда
Дифференцируя (53.7) по времени, находим коэффициенты разложения ,
Величины Мп называются моментами кривой поглощения S (Q, со).
Корреляционную функцию S (Q, t) иногда называют характеристической
функцией кривой поглощения.
Согласно (53.12) площадь под кривой истинного поглощения (при
фиксированном значении Q) определяется выражением
- нулевой момент кривой поглощения.
В использованном нами приближении нулевой момент не зависит от
температуры кристалла и всегда равен единице. Это важное заключение
справедливо только при достаточно интенсивных процессах релаксации^
исключающих обратное преобразование экситонов в фотоны (см. §57.2). Хотя
такие процессы формально не учитывались при выводе выражения (53.2), они
всегда подразумеваются при исследовании процессов взаимодействия света с
кристаллом в первом порядке теории возмущений.
СО
со
со
мп (Q) = ~ (0nS (Q, со) da>.
