Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
локальных возбуждений.
Тензор диэлектрической проницаемости е (со, ft) является макроскопической
характеристикой немагнитного кристалла. Он связывает фурье-образы
векторов электрической индукции D (со, ft) и напряженности электрического
поля Е(со, ft) длинноволнового электромагнитного излучения
D(со, ft) = e(co, ft)/; (со, ft). (54.5)
Согласно уравнениям Максвелла вектор индукции D (г, t) длинноволнового
электромагнитного излучения и напряженность электрического поля Е (г, t)
удовлетворяют равенству
D(r, t) = E(г, f) + 4nP(r, t), (54.6)
где P(r, t) - вектор электрической поляризации единицы объема кристалла,
возникающий под влиянием поля E(r, t). В изменяющихся с течением времени
полях из-за эффектов запаздывания и коллективных свойств электронных
возбуждений P(r, t) зависит от значений Е в точке г и ее ближайшей
окрестности во все
предыдущие времена. В линейном приближении эту связь можно
записать в виде
СО
D(r, t) = E(r, 0 + S dx ^ d3pS(p, т; г)?(/-т,/- + Р), (54.7)
0 cl > 101
450 ДИСПЕРСИЯ И ПРОХОЖДЕНИЕ' СВЕТА через КРИСТАЛЛЫ [ГЛ. XI
где 5 (р, т; г) - вещественный тензор второго ранга. Его зависимость от р
характеризует нелокальный характер связи (54.7). В согласии с принципом
причинности и конечной скоростью распространения взаимодействий (передний
фронт всегда распространяется со скоростью света с)¦ интегрирование по р
в (54.7) распространяется на область, находящуюся внутри обращенного в
прошлое светового конуса. В неограниченной пространственнооднородной
среде тензор S (р, т; г) не зависит от г.
Полагая S (р, х; г) = S (р, х) и переходя к фурье-образам вектора
индукции D(<o, к) и напряженности электрического поля в выражении (54.7),
найдем (путем сравнения с (54.5)) явное выражение тензора диэлектрической
проницаемости
\ 00
е(со, к) = 1 + \ ^ d3p S (р, х) exp [t (Лр +сох)]. (54.8)
0 ст > IQ!
При локальных электронных возбуждениях
S (р, х) = S (х) 6 (р) и (54.8) преобразуется к виду
СО
е (со) = 1 + § dxS (х) еш. (54.8а)
о
В этом случае пространственная дисперсия отсутствует.
В общем случае тензор диэлектрической проницаемости (54.8) является
комплексной аналитической функцией комплексного вектора k и комплексной
переменной со, расположенной в верхней полуплоскости (т. е. при Imco^sO)
[312, 40]. При этом функция е(со, к) не имеет ни полюсов, ни нулей в
верхней полуплоскости комплексной переменной со. Используя эти свойства,
можно вычисленные на основе микроскопической теории выражения е (со, к)
для вещественных со, k аналитически продолжить в область комплексных
значений. Полюсы диэлектрической проницаемости при вещественном k могут
располагаться только в нижней полуплоскости комплексной переменной со.
Ниже мы для простоты будем рассматривать только оптически изотропные
кристаллы, для которых'тензор е(со, к) вырождается в скаляр.
Приведенные выше выражения (54.2) и (54.4) для диэлектрических
проницаемостей имеют при вещественном к полюс в нижней полуплоскости
комплексной со:
со (к) = со' (*>) + ico" (k) = Q (к) - iy (Q (k)).
При этом вещественная часть со' (к) = Q (к) соответствует частоте
экситонов, а мнимая часть - со" (к) = у (Qk) их затуханию. В общем
диэлектрическая проницаемость кристалла
451
случае полюсы со, (k) = со* (k) + ко* (к) диэлектрической проницаемости
е(со, к) (или нули функции б"1 (со, k)) определяют при вещественном k
элементарные возбуждения в кристалле с дисперсией со/ (k) и затуханием -
со/ (k) >0.
Из равенства (54.5), записанного в виде <
Е (со, k) = Е-1 (со, k) Z? (со, k),
следует, что полюсам тензора б (со, /г) при, вещественном векторе k
соответствуют элементарные возбуждения в кристалле, которые при БфО не
содержат поперечного электрического поля Е(со, к). Эти возбуждения мы
называли экситонами. Электромагнитные взаимодействия, не содержащие
поперечной напряженности электромагнитного поля, являются кулоновскими.
Таким образом, экситонные состояния кристалла соответствуют возбуждениям,
в которых учтено только кулоновское взаимодействие между зарядами.
Уравнение б (со, /г) = 0 при вещественном k определяет элементарные
возбуждения кристалла, которые называются продольными экситонами, так как
в этих состояниях напряженность электрического ноля параллельна волновому
вектору. В самом деле, из равенства
D = eE = E-\- 4яР
следует, что при е = 0 вектор Р антипараллелен Е и D = 0.
Макроскопическое (длинноволновое) электромагнитное поле в кристалле
определяется уравнениями Максвелла через сторонние токи j(r, t). Для
фурье-образов . Л (со, к), /(со, /г), векторного потенциала
A (a*, t) = $ dco ^ d3kA (со, k) ехр \i (kr - со/)] (54.9)
и стороннего тока
j(r, t) - ^da)^cPkJ(w, k) ехр [i (kr - со/)] (54.9a)
эти уравнения в изотропном кристалле имеют вид
' [**_?б(<0, Л)] л (со, (r) = ~j(СО, k). (54.10)
Общее решение уравнения (54.10) можно записать в виде
Л (со, k) = Aiorсе (ffl, k) -f" j4free ((r), k), (54.11)
где zlfree (">, к) - поле в кристалле без сторонних токов. Оно
