Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
-со
(53.12)
Ж (Q) = ^ К (Q, со) da = ~ 4тл{ d2M0 (Q), (53.13)
где
СО
Мо"?)=4 jj S(Q, со) da> = [S (Q, .01-0 = 1 (53.13а)
- СО
к-0 =
440 ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. X
Если функция S(Q, со) нормирована так, что Al0 (Q) = 1, то первый момент
СО
Мх (Q) = § coS (Q, to) du> а== (о"
< -00 будет определять "центр тяжести" кривой поглощения.
Часто моменты кривой поглощения вычисляют относительно центра тяжести со0
с помощью равенств
СО
(Q) = ^ § (" - со0)л 5 (Q, со) dco.
- СО
В этом случае характеристическая функция кривой поглощения преобразуется
к виду
S(Q, l)=^L1p?Mn(Q) = e^S(Q,t), (53.14)
п= 0
где S(Q, t) - корреляционная функция (53.6). Таким образом, моменты
кривой поглощения относительно центра тяжести (центрированные моменты)
определяются через характеристическую функцию (53.14) простым
дифференцированием
М
'n(Q) = [{i~)nS(Q, <)](_о. (53.15)
Центр тяжести со0 можно найти из условия равенства нулю первого
центрированного момента
M1(Q) = 0. (53.16)
Рассмотрим первые центрированные моменты простейших функций 5 (Q, со).
Пусть S (Q, со) совпадает с функцией Гаусса, т. е.
("-"о)2
г/2л
S (Q, со) = Se (со) = -^7= ехр
2Г
В этом случае М0= 1, Мг = 0. Второй момент
(53.17)
M2(Q)= \ (ы - со0)2 Sg (со) da = Г2.
-СО
Полуширина кривой Sg(co), определяемая из условия Sg (со0 + А) = ~2 Sg
(со0),
равна А = Г V2 In 2. Все нечетные моменты Мп равны нулю, а все четные
выражаются через единственный параметр Г.
МЕТОД МОМЕНТОВ В ТЕОРИИ ПОГЛОЩЕНИЯ
441
Например, УИ4 - ЗГ4, Таким образом,
(53.18)
В качестве второго простейшего примера рассмотрим "обрезанную лоренцеву
кривую"
где Все нечетные моменты функции (53.19) равны нулю.
Первые четные моменты равны, соответственно,
Сравнивая (53.18) и (53.20), мы видим, как сильно отличаются эти
отношения для кривой типа Гаусса и Лоренца.
Полная функция S(Q, t) определяется всеми моментами с помощью формулы
(53.14). Поэтому экспериментальные данные о первых моментах дают
сравнительно бедные сведения о функции S(Q, со). Однако теоретическое
вычисление S (Q, со), или корреляционной функции S(Q, t), задача
исключительно сложная. Вычисление первых моментов M"(Q) кривой поглощения
значительно проще. Такие вычисления позволяют проводить значительно более
полные сопоставления экспериментальных результатов с теорией и получить
существенные данные о экси-тон-фононном взаимодействии и свойствах
соответствующих электронных возбуждений. Так, например, измерение
нулевого момента - площади кривой поглощения, широко используется
экспериментаторами для определения силы осциллятора квантового перехода в
возбужденное электронное состояние. Ниже (см. § 57.2) мы увидим, что при
очень низких температурах, при которых процессы релаксации экситонов
играют малую роль, такое сопоставление приводит к неправильным
заключениям. Однако в пределах применимости теории моментов (слабое
проявление эффектов пространственной дисперсии -локальные возбужденные
состояния или экситониые возбуждения при большой роли процессов
релаксации (см. § 57)) их теоретическое и экспериментальное изучение
весьма полезно.
Метод моментов с большим успехом применялся в теории поглощения света
примесными центрами (локальные возбуждения) [350 - 352].' В теории
поглощения света экситонами этот
при J СО CO0 I sg;L,
при j со - co01 > L,
5Й0=1, M^^YLK
Таким образом,
(53.20)
442
ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. X
метод использовался Дзюбом [353], Мерифильдом [354], Моррисом и Сиитсом
[355, 356], Ницовичем [357, 358] и др.
Согласно (53.15) первые моменты функции поглощения могут быть найдены при
непосредственном вычислении значений соответствующих временных
производных корреляционной функции (53.14). Эта задача, как мы увидим
ниже, значительно проще, чем вычисление самих корреляционных функций.
Проведем вычисление моментов функции поглощения для простейших квантовых
систем. Предположим, что кристалл описывается гамильтонианом
Н = У] Лоз {k)BkBk -j- fiQs (Я) bsybsq "Ь
S. Я
+ i 2 F^k' q)B*+qBwsq, (53.21)
s, q, h
где
Fs (ft? я) ~ Es {k Я > *7) i фя? = bsq -j- bSt -q,
со (к) - частоты экситонов с волновым вектором fe; Qs (я) - частоты
фононов ветви s с волновым вектором Я-
В гайзенберговском представлении изменение операторов
экситонов Bk и фононов bsq системы, описываемой гамильтонианом (53.21),
определяется уравнениями
= q)Bk+qytq, (53.22)
dt пул/ лшш
S, Я
i^L=Qs(Q)b,q + --^ryFs(k, -Я)ВичВк, (53.23) dt Ну N мш
k
db1 s'-9--Qs(q)bi-q--w2KFs(k, -я)Ви"Вк. (53.24)
dt
С помощью (53.15) и (53.22) находим первый момент кривой % "?) = ["-Г
S(Q, о]( = 0 = -(r) + (Вв. (53.25)
Приравнивая первый момент нулю, мы убедимся, что центр тяжести кривой
поглощения в системах с гамильтонианом (53.21), содержащим в операторе
взаимодействия экситонов с фононами только линейные слагаемые по
операторам фононов, совпадает с резонансной частотой соq и не зависит от
Fs{k, я) и температуры кристалла.
Зависимость от температуры проявится при вычислении моментов более
