Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
одночастичных электронно-колебательных возбуждений в кристалле, которые
можно назвать вибронными экситонами. При йДй
возрастании
частота одночастичного поглощения приближается к частоте однофононного
вибронного поглощения молекулой без учета резонансного взаимодействия
9 U? О KJUq \Uj
Рис. 62. Форма кривой е" (со) в произвольных единицах при 12<1.
= $ -j- ~ Д?2, C0j - & -j-?2o,
COq ¦
¦ ~2 ^1 •
(1)0 = 0)! -
у l2x + (ДО)".
Если А - интегральная интенсивность, соответствующая поглощению,
обусловленному свободными экситонами, то интегральная интенсивность
полосы одночастичного поглощения (вибронные экситоны) равна
Jnn = A%2( I-х2). *|AQ|
'о.р-
КЦ-(ЙДЙ)8
Интегральная интенсивность широкополосного двухчастичного поглощения
равна
Й I ДЙ I
Jt.p = Al2(l-x2) 1
ДЙ)2
404
ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. X
Зависимость функции г" (Q, со) от частоты в произвольных единицах
изображена на' рис. 62. При возрастании ?2 характер спектра поглощения
меняется. Область широкополосного поглощения становится асимметричной. Ее
интегральная интенсивность уменьшается и при |= 1 остается только
одночастичное вибронное поглощение. Исследование вибронного спектра с
симметричными молекулярными колебаниями при произвольных значениях
параметра I будет проведено в следующем параграфе.
50.2. Вибронные спектры при произвольных смещениях ядер в молекулах.
Исследуем вибронные возбуждения с участием полносимметричных
внутримолекулярных колебаний, описываемые оператором (50.15) при условии
ДЙ = 0 и произвольных |. В этом случае вибронные операторы (50.16) имеют
вид
Уп=,Вяехр11(Ы-Ьа)]. (50.62)
Используя тождество Вейля (см. дополнение Б)
ехр [I {Ьп - Ьп)] = ехр *- ?2) ехр (??>;,) ехр(- 1ф"), (50.63)
преобразуем (50.15) к виду
II = Йсо10 ^ ВпВп + й Q0 ? ЬкЬп +
п п '
+ ? MfmBi Вп ехр [I (btn - bn)] ехр [| (Ь" - Ьт)], (50.64)
п, т
где
М(пт = Мпт ехр (- ?2). (50.64а)
Оператор (50.64) коммутирует С ^ВпВп. Следовательно, без
П
внешних возмущений полное число электронных возбуждений сохраняется. Мы
будем исследовать случай, когда Q0 превышает ширину экситонной зоны,
тогда вследствие закона сохранения энергии (без учета межмолекулярных
колебаний) должно сохраняться и полное число внутримолекулярных
колебаний. Поэтому при разложении операторных экспонент в (50.64) можно
опустить члены, не сохраняющие полное число внутримолекулярных колебаний.
При учете тождества Вейля запаздывающая функция Грина вибронных
операторов (50.62) представляется в виде ряда
({Vп\ V0))t = e-i'((Bne-lb"; В^ё~^)\ =
= e-l'[((Bn, Bl))t + ?({Bnbn\ W", + ...]. (50.65)
В соответствии с (50.19) диэлектрическая проницаемость определяется
фурье-образом G(Q, со) функции Грина (50.65) по временной и
пространственным переменным. Функция G(Q, со) также
§ 50] ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ 405
изображается рядом
G(Q, co) = ?r-S2"<Bn; Во))<?, м + ?2 ((Bnbn\ ^о^о))е, 5 + .. .)> (50.66)
где
"в"(г>п)р; Bo(W>^ = 2>-''0n№(Mp; я"+(едр"~, (50.67)
п
со
"В"(^)р; 5o(W>s= I *'*-'* {{ВпФпУ-, Bt(b0y))tdt,
-со
р = 0, 1,... (50.68)
Удобно вначале вычислить фурье-образы (50.68) по временной переменной.
Используя уравнение
со "Л; В+))и = <01 [А, В+]|0) + "[Л, Щ\ В+)>ш, (50.69)
справедливое для двух произвольных бозевских операторов, получим при р =
0 уравнение
((0 - (Ою) \(В"] Во))ш = бП0 + 2 /Ия?т((Вщ", 5о))щ.
п, т
После умножения этого уравнения на ехр (-iQn) и суммирования по всем
значениям п, получим
Q, (О
где
((Вп- Bo+"e.5 = (ffl-4)h1. (50.70)
co<P = co10-f M^dexp(iQn) (50.71)
- частоты экситонной полосы возбужденных состояний с волновыми
векторами Q. Таким образом, учет внутримолекулярных возбуждений приводит
к уменьшению ширины чисто экситонной зоны на множитель ехр (-|2).
Если учесть операторное тождество
ехр [- I (Ь$ - &?)] b" ехр [| (6j - &?)] = bn +? (6nv - бЯц),
то с помощью уравнения (50.69) для фурье-образов (по временной
переменной) функции Грина <(Bmb"\ B^bt))t получим, сохраняя
слагаемые, удовлетворяющие условию
Я, %ыья
= 0, систему
уравнений
ft (ш (йю)ёт -л, л (ей) = ЬптЬпй 4~ \gn-m, т ((r)) §0п ((r))]"Ь
+ ^1 МтЛёч-п, п (ffl) + i26mn[g0n(ffl)-§n-m, т(о>)1}, (50.72)
где
gm-n.n(a) = ((Bnba; AW"S- (50.73)
406 ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. X
Рассмотрим для простоты одномерный кристалл п - ап, tn = am и используем
приближение ближайших соседей
М(м. = -у?б(6", n+i + 6m,"_i), Li - L ехр (- |2),
где 2|L|| -ширина энергетической зоны экситонов. Значение > 0
соответствует экситонам с положительной эффективной массой. При этом
(s>q = со10 - у Z.| cos Qa.
Умножая обе части уравнения (50.72) на ехр [-iQn - ik (т-я)] и производя
суммирование по всем значениям п и т - п, находим
(co-Q0 -со f>)g(k, Q, со)=1-^| {2 [cos Qa - cos ka] ge (Q, co) +
+ (r)) + [e-'(*-e"e- (c))}• (50.74)
При этом
g(k, Q, (o)= 2 )gm_, (Q, (c)), (50.75)
m - tt
gm-n{Q, CO(50.76)
я
Обратное к (50.75) равенство имеет вид
gm-n{Q, = (50-77)
ft
В частности,
go(Q, = & (r)) = G(Q. со)*
