Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
S, 9
(49.16)
Следовательно, запаздывающая функция Грина экситонов имеет вид
G(ft, /) = - г(c) (0И(^(0)1ехр[- if (ft)//ft], (49.17)
где чертой обозначается усреднение колебательного состояния при
температуре Т. При учете (49.16) можно написать
[# (f)gS (0)] = 11 Msq ехр g (t), (49.18)
S. q
где
Msq •== exp [a*q (t) &sq (0 Psa] ^Xp [as? (0) $Sq <X*q (0) Psg], g 18a)
a^(t) " _ hoj(q) eXP iQ* ^ l) •
Используя операторное тождество (см. (Г. 12))
ехр (a*bt - abs) ехр (ybs - y*bt) =
= ехр [ay* (vs + 1) + уос*vs - (| а |2 +1 у |2) (vs + Va)],
получаем
* w = Р 2%fwf ^ + 1)<и' + V0-И' - (25,, + 1)].
(49.19)
s. Ч
Итак, фурье-образ функции Грина (49.17) при учете (49.18) определяется
интегралом
00
G(k, ") = - ^ J ехр {г ["-If (ft) + in]/ + fir(/)}d/. (49.20)
о
Параметр т} формально учитывает процессы поперечной релаксации, т. е.
переход энергии экситонов в тепло.
386 ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. X
Удобно преобразовать (49.19) к виду
g (0 = - <">(49.21)
s, Ч
где _
°S9 35 h4t-(q) I & ^ I2' ^ = mi{(q) I & ^ I2"
(49.22)
go - 2 с*ч)'
S, Ч > ч
Тогда (49.20) принимает вид
СО
G (к, ш) = - - J- е- so ^ ехр |й [ш - ~ t-(k) + йц]} У /", m (t) dt,
0 rt, т
(49.23)
где
Vs.? / \", ?
Здесь пит пробегают положительные целочисленные значения от нуля до оо.
Предположим, что взаимодействие экситонов осуществляется только с одной
оптической ветвью колебаний так, что (q) я" Q0,
тогда интеграл (49.23) легко вычисляется, и мы получаем
•V--1 апст -jr Ш (к) -\-(п - т) ?20 - о - /г][
G{k, ") = e-g" ) -----------р----------------;----s-i--, (49.24)
- jLJn\m\n\ ±-%(к)+(п-т) Q0-(c) +т]4
п, m М_ я J J
где
я = 2 с - 2 A)?"
? ч
Подставив (49.24) в (49.14), можно определить вещественную и мнимую части
диэлектрической проницаемости. В этом случае кривая поглощения
изображается совокупностью эквидистантных
полос, отстоящих от частоты у Ш (Q) на расстояниях (п - m)Q0.
Их относительные интенсивности равны апст/п\т\ .
Бесфононному возбуждению соответствует значение (49.24) при и = т = 0, т.
е.
/ ~ч I e \t(k)-a + ii\
Go(*, co) = |e-g"^f--------------5---(49.25)
2
+ rf
§ 49J ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ПРИ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ 387
Функция Грина (49.25) бесфононного возбуждения в кристалле при учете
деформируемости решетки отличается в двух отношениях от гриновской
функции (46.31) экситонов в кристалле с закрепленными молекулами в узлах
решетки. Во-первых, согласно.
(49.12) резонансная частота смещена относительно со (ft)
на величину - 2 IЛ (s<?) [2 (<?); во-вторых, функция (46.25) со-
s. ч
держит множитель ехр (- g0). который меньше единицы даже при очень низкой
температуре. Его роль возрастает при увеличении температуры, так как g0
увеличивается при повышении температуры.
При очень низких температурах 0, поэтому в сумме по т в (49.24)
сохранится только член с т = 0. Следовательно,
ап Ш (k)-nQ0-со - iTi j
tr 1 U \ ~Т~ 0 \'*) -------(О--**]|
Gr^oik, ш) = <Гй° \ ----^---------------------is-Ц". (49.26)
п\ п | -J- ш (ft) - nQ0 - (oj + т)2|
п-е слагаемое в этой сумме соответствует возбуждению экситона совместно с
n-фононами энергии /Ш0. При условии а< 1 вклад каждого слагаемого с
ростом п убывает. Наиболее вероятно бес-фононное возбуждение. Если а> 1,
то наиболее вероятно возбуждение с участием а - 1 фононов. Величина а с
ростом температуры возрастает, поэтому с повышением температуры роль
многофо-нонных процессов, увеличивается.
Когда во взаимодействии экситонов с колебаниями решетки участвуют фононы
с разными частотами, удобно представить функцию (49.20) в виде двух
слагаемых
G (*, и) = Gi (ft, ю) + G2 (ft, ю), (49.27)
где
оо
Gi(ft, со) = - jr § exp ji[co-I g(ft) + /r|j t + g(/)}dt, (49.28) "°
G2 (ft, co) = - у jj exp |i [cd -(ft) + it)] t + g (/)} dt, _ (49.29)
о
t0 = {max Q^)}-". (49.30)
При значениях t>t0 функцию (49.21) можно заменить приближенным значением
388
ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. X
Тогда в интервале частот
со
-^(k)
\
to
max (q) значение
Gx (k, со) определяется выражением
Gx (k, со) = e~ g° [ft(c) - Ш (k) + щЩ~1.
(49.32)
Эта часть фурье-образа функции Грина определяет мнимую часть
диэлектрической проницаемости (49.14), что соответствует узкой
"бесфононной" спектральной линии с полушириной т] и максимумом в области
частоты - (к), пропорциональным - ехр (-g0).
При сильной связи - экситонов с фононами ехр (-go)^l> поэтому вклад Gi
(k, со) в диэлектрическую проницаемость мал. При t<it0 функцию (49.21)
можно преобразовать к виду
где
g (*) it А - t2B2
д= yJXstiU2
s, q
1
?2 = p 2(^ + 1/2)Ix* {q) |2*
(49.33)
(49.34)
(49.35)
s, q
Подставив значение (49.35) в интеграл (49.29), получаем *0
Gi (k, со) = - ~ ^ ехр |i7 J^co - ~ Ш (k) - A - tr\ - t2B2j dt.
Если параметр В достаточно велик, так что выполняются неравенства
В
Bt0-.
' max (q)
то верхний предел интегрирования можно распространить до бесконечности.
Тогда получим (см. [322, 323])
G2(k, со) =
I / X . \
Ш[в- Ш)ехР [й (*4-iil)]-1
X2 \ i JC [
