Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
- коэффициент, характеризующий силы упругости кристалла.
Из (51.5) следует, что
СО
У! Pi ~ со ^
1 - п
Поэтому кинетическая энергия (51.3) в переменных рп примет вид
- со -.2
т==?2 21Р' • • (51-7)
п J = п
Гамильтониан электронного возбуждения в (51.1) в приближении ближайших
соседей также зависит от переменной рп. Будем использовать приближенное
выражение
Яе1 Ы =2l[[AS-(l+spa/a)D]B+nBn-L[B+nBn?l + Bii+iBa]},
(51.8)
где использованы приближения
Dn-i,п (Rn-i) "Ь Dn+1<n (Rn) - (1 -(-spn/o) D, (51.9)
^ П
Mn,n+1(Rn) ъ Мя+1,Л(Я") = - L. (51.10)
Величины D = ~t s, L являются положительными параметрами теории.
420 ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. X
Рассмотрим состояние кристалла, описываемое функцией
?(0 = 2>"(0Я*|0>, 2>"(012 = 1. (51.11)
п п
При этом величины \an(t)\2 характеризуют вероятность распределения
возбуждения по кристаллу.
При фиксированном наборе" значений а.п (t) в некоторый момент времени t
величина
(V (0 \Не]\У (0> = 2 \[А$ - (1+ spja) D] a* (t) ап (t) -
П- -L[a*n(t)an+1(t) + a* + i(t)anm} (51-12)
является дополнительной к (51.6) потенциальной энергией, определяющей
новые положения молекул в кристалле при его электронном возбуждении. Из
условия минимума функции
<?|Яе1|?> + ДУЫ находим значения р(tm)', характеризующие новые положения
равновесия молекул в кристалле,
Р"'(0 = I(О I* (51.13).
для каждой фиксированной совокупности значений an(t), определяющей
электронное состояние (51.11).
Чтобы найти значения an(t) соответствующие новым положениям равновесия,
надо решить уравнение Шредингера
ih?-H)w = О, (51.14)
' dt
в котором >
Я = Яе iK'} + E, (51.15)
На К) = 2 Р" - D - G\a"(t) |2] В*Вп - L ЩВп+1 + Bi+ {Вп]},
со -2
d
-\-G\an (t)
14 I
где
r__s2D2 - mG tc\
(51-16)
При увеличении жесткости решетки (ш-voo) обе величины G и1 F стремятся к
нулю.
Подставив в (51.14) значения (51.15) и (51.11), получаем уравнение
2{-т|ая(0+[Д*-о-в]а"(0- ;
- L [ял+1 (0 + ап^ (/)] - Gja" (t) j2 ап (t)} В+п\ 0) = 0.
511
ДЕФОРМАЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНОГО КРИСТАЛЛА
421
При учете полноты и ортогональности системы функций Bh | 0) из этого
уравнения следует уравнение, определяющее ап (t):
т d^l + L[an+1 (t) + an^(t)l-
_[Ag_D-S]M0 + Gk(0l*M0 = 0. (51.17)
Введем безразмерную координату l = r/a и перейдем в (51.17) к
длинноволновому приближению
an(t)-+ ф(?, t), так что <p(п, f) = an(t),
ФЙ+1, 0 + ФЙ-1, 0^2"p(S, о +
Тогда уравнение (51.17) преобразуется к нелинейному уравнению вида
"й 4- Л - ¦
dt '
¦ Яф + GI ф |2 ф = 0,
где величина
СО ( Г03
X^Ag-D-2L+I J dl\F ,/)
-00 I Ц
(51.18)
+ Gj ф (?, 0 |4|.
(51.19)
Нормированное решение уравнения (51.18) имеет вид уединенной волны
(solitary wave) для каждого значения параметров v^O и
V 2 expf'[lz
где
а_
4 L
8wa2L ' /Ш = - D - 2L
ch [|i (l - la-vi)]
s2D
' )
УИ*а=иа
АР
: "I* + =
G2
48L ' й2 + 0^/6
(51.20)
(51.21)
(51.22)
2La2
- эффективная масса возбуждения, движущегося в кристалле со скоростью
К = аи; m* = H/2La2 - эффективная масса возбуждения в кристалле с жестко
закрепленными молекулами; т% = =--= mG2/24Lwa2 - дополнительная
эффективная масса, обусловленная локальной деформацией кристалла в
области возбуждения. Эта масса прямо пропорциональна массе молекул (т) и
обратно пропорциональна резонансному взаимодействию (L) и кубу
коэффициента жесткости (w) решетки кристалла. Таким образом, при
422
ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. X
увеличении жесткости (w -> со) дополнительная эффективная масса md
стремится к нулю.
Согласно (51.20) возбуждение кристалла локализовано в окрестности \ =
Каждому значению v соответствует энергия
возбуждения /Ш, определяемая (51.22). Значению и = 0 соответствует
неподвижное возбуждение с энергией ЬЛ - D - 2L - G2/48L. Эта энергия на
величину G2/48L меньше энергии длинноволнового возбуждения Д§ - D - 2L в
кристалле с жестко закрепленными молекулами (oi->oo). Таким образом,
локализация возбуждения энергетически выгодна, если скорость возбуждения
av удовлетворяет неравенству
av < VG2i(24m*L).
Используя (51.13), мы найдем, что в области возбуждения равновесные
расстояния между молекулами уменьшаются на величину ____
р(е. " = <51'23)
где ц определено выражением (51.21). Заметное изменение расстояния между
молекулами охватывает область
а&1 - ал/ц = 4-nLa/G
около точки a(?o + w0- Эта область распространяется с постоянной
скоростью вдоль кристалла. Среднее расстояние между молекулами в этой
области кристалла равно
." a (l - 0,3ft Y~G/2w ).
В противоположность движению свободных экситонов в трехмерных кристаллах,
описываемых волновыми пакетами, возбуждения одномерных кристаллов,
описываемые функциями (51.20), не "расплываются", а сохраняют свою форму
с течением времени. Поэтому такие возбуждения в одномерных кристаллах
можно назвать частицеподобными (уединенными) экситонами или соли-тонами.
При очень малых значениях параметра jx, определяемого выражением (51.21),
т. е. при жесткой решетке, большой величине резонансного взаимодействия и
