Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
где
k z, х
Соответственно, компоненты оператора удельного электрического дипольного
момента определяются выражением
2 ^zQzx
Рх < =2 iтт~ eikn (- *)+Б (*)]•
* v
Проводя вычисление (аналогично вычислению (46.15)) среднего удельного
дипольного момента, находим
<P,(*)> = Sp{p(/)M*. 0} =
= - w)-G+(- k, - <o)].
г z'y
Сравнивая это значение с (46.3), получаем выражение для компонент тензора
диэлектрической проницаемости, обусловленного квадрупольными экситонами
~ 4дсо/ Vi ^ -v
е№> (к, со) = г% - - 2 kzkz'QzxQz'y [G (к, со) - G+ (- к, - со)].
(46.35)
В случае оптически изотропных кристаллов тензор (46.35) выражается в
скаляр
е<(r) (к, w) = e°-gft2[G(ft, w)-G+(-ft, - <в)]. (46.35a)
Существенно, что в случае квадрупольных экситонов пространственная
дисперсия диэлектрической проницаемости определяется не только
зависимостью от волнового вектора функции Грина G(k, со), но и
множителем, стоящим у этой функции.
В случае магнитных дипольных экситонов оператор взаимодействия (46.19)
согласно (46.11) имеет вид
Иint (t) = w (t) E0 exp (mt + yt),
§ 461 ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ КРИСТАЛЛА
363
где
w(t) = 2}^2k*M*xex[B+ik' 0 ~В ("*'
к х, г
Компоненты удельного электрического дипольного момента в этом случае
определяются выражением
Рх (л) = -1- У кгМгхе*" [В+ (-. к) + В (*)].
и2 у N ^ г, к
Вычисляя средний удельный момент, находим
(Рх(п)) = -~ 2 k-MzxkzMziye,\G(k, со)-G+(-k, -со)].
г, г,, и
Следовательно, компоненты тензора диэлектрической проницаемо* сти,
обусловленной магнитными дипольными экситонами, также выражаются через
фурье-образы запаздывающей функции Грина
") = ej,-4^ ^kzkZlM.xM,iy[G(k, и)-СЦ-к, -(c))].
(46.36)
Если функции |0) и |/) включают спиновые переменные, то в (46.36) надо
положить
Мгх = е (/." +2Sy), Mxy - e(Lz-\-2Sz), Myz = e (Lx-{-2Sx),
где
Lx = <f\lx\0), Sx - (f\$x\ 0),
A A
lx, Sx - проекции суммарных орбитальных и спиновых электронов молекулы.
46.1. Связь диэлектрической проницаемости с запаздывающей гриновской
функцией фотонов. Формула (46.34) выражает тензор поперечной
диэлектрической проницаемости еху (k, (о) через фурье-образы
запаздывающей гриновской функции экситонных операторов
а(к, а)=((В(к), в+т~.
Покажем, что этот же тензор гху(к, со) можно получить с помощью фурье-
образа запаздывающей гриновской функции фотонов, являющихся квантами
поперечного электромагнитного поля, находящегося в объеме кристалла,
возбужденные состояния которого включают кулоновское (продольное)
взаимодействие между зарядами кристалла.
364 КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ.IX
Поперечное электромагнитное поле в кристалле описывается оператором (см.
§ 45)
Нръ='? frc\k\aiaak<x, а= 1, 2, (46.37)
к, а
где ака, йка - операторы рождения и уничтожения фотонов с энергией
cti\k\, импульсом fik и вектором поляризации ека. При этом оператор
векторного потенциала поперечного поля определяется через операторы ака
выражением
УЩ еакука ехр (ikr), (кека) = 0, (46.38)
А, а
У ка = ака "Ь а- к, а*
Согласно макроскопическим уравнениям Максвелла векторный потенциал
поперечного электромагнитного поля в среде с диэлектрической
проницаемостью е (k, со) определяется через поперечные сторонние токи
j(k, со) уравнением
ge(ft, со) -кч] А (к, со) = - (Л, со), (ЛЛ) = О,
где / - единичный тензор. Из этого уравнения следует
2
Aa{Q, C0)=f Q2 2 Сй) + /]ав/^(3* Ю)- (46-39)
Р=1
Таким образом, если мы найдем связь между сторонним током У (Л t)=J(Q,
(r))exp[i(Qr-(ot) + yt], (46.40)
включаемым в бесконечном прошлом и создаваемым им векторным потенциалом,
то мы сможем определить и тензор поперечной диэлектрической проницаемости
e(Q, со), со = (04-17.
Оператор взаимодействия сторонних токов с электромагнитным полем
в квантовой механике имеет вид
Нм = - ~ (r)j(r, t) d3r.
Подставив в это выражение (46.40) и оператор (46.38), получим
_____ 2
Яы = - У~ЩГ\6кЯ 2 vWa(Q, a)exp(i<of + Y0- (46.41)
а =1
Предположим, что при t - - оо кристалл с гамильтонианом Н, включающим
электромагнитное поле, описывался матрицей плотности р0. Тогда в
представлении взаимодействия в линейном приближении по оператору (46.41)
к моменту времени t ее
§ 46] ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ КРИСТАЛЛА 365
изменение (см. (46.21)) будет характеризоваться величиной
t
?p(/) = p(/)-p0 = ^ [#mt(x), Ро]dr, (46.42)
- ОО
где
~ ,iHt ... ( iHt \
р(0 = ехр-т-р(0( ),
Яint (0 = ехр Нint (О(--^г-).
Следовательно, среднее значение а-й компоненты (в системе координат
волнового вектора) оператора векторното потенциала, возникающего к
моменту t под влиянием стороннего тока (46.40), определяется выражением
<Аа (Q; г, 0) = Sp [Аа (Q; г, t).Kp (/)}, (46.43)
где _______
AaiQ; Г, 0 = ]/"T^JrY<?a(0exp(/Qr),
г 1 *1 (46.44)
iHt /' iHt \
Yea (t) = ехр - yQa ехр ^ - - j.
Подставив значение (46.42) в равенство (46.43), находим
t
{.Aa(Q; г, ф = ^ jj Sp {Pot^atr, 0. Я,п4(х)]^т.
- СО
С помощью выражений (46.41) и (46.44) можно преобразовать это равенство к
виду
