Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
II
Функции преобразования и и v удовлетворяют условиям
У! (nil, Vkl, \iVkl, ц,) = jj,, I =/, ОС,
I
УI (Ubl, ((х У*/, |iVklt, |x) =
§ 45] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭКСИТОНОВ С ФОТОНАМИ. ПОЛЯРИТОНЫ 353
Все другие комбинации типа (м"- пук п.- uki, ц^а/, ц) равны
i
нулю. Явные значения этих функций определяются системой уравнений
(Wji С ] ft |) Vha,, ц = (С | ft | Шц) Uka, ц"
[H^ + Ef (ft)] Vkf, ц = [ЙСОц, - Еf (ft)] Ukf, ц,
[ЙШц - ?> (ft)] ц = 2 D (kaf) (vka, ц + uka, Д
(<% - cl ft I) Uha, д---^ D (kdf) (Vkf, д U*/, ц) "b
(45.14a)
Q2
2C I ft'| (u*". М. "b Vka, ц)-
Система уравнений (45.14a) сводится к уравнению относительно функций Uka,
ц и энергий Й0)(1 (ft) новых элементарных возбуждений - поляритонов
К - № - Qg] ика, ц - 2 Т'арИАр. м = о, (45.15)
3
матричные элементы, завися-
где ГаР=
о_ \ "F/ (*) (**"<*/) (e*pd/) -?}(*)]
щие от искомой энергии /гсо^.
В случае изотропных кристаллов, используя приближенное равенство
fta>f^Ef(k) и правило сумм (45.9), находим
Та$ =
Jap-
I
Подставив это выражение в (45.15), получаем уравнение
Ч)га, 0, (45.16)
c2ft2
определяющее частоты co^ft) поляритонов и явное выражение оператора
энергии (45.13) через операторы рождения ??(?) и уничтожения ip, (ft)
поляритонов
Я = = (*) & (*) in (*) + ^оэ (45.17)
где con(ft)T2]lI,A". nl2 + 2ly^ ц|21-энергия
n, k L (r) f J
основного
состояния.
354 КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ.IX
Условие нетривиальной разрешимости уравнения (45.16) сводится к равенству
,2Ь2 v
y-'-Iw-ei.r I45'1*)
f '
Это равенство является дисперсионным уравнением, определяющим зависимость
частот новых элементарных возбуждений в системе взаимодействующих
экситонов и фотонов от вещественного волнового вектора.
Если нижняя экситонная зона Е1(к) = НО,(к) изолирована от всех остальных,
то, интересуясь возбуждениями в области частот Q (к), можно выделить в
уравнении (45.18) главное резонансное слагаемое и преобразовать его к
виду
c2ft2 , р
¦щ2" - е°+а2(й)_Ш2" (45.19)
где
- параметр, характеризующий величину взаимодеиствия света с
экситонами, а
е°-1 + ZajF
{Ч 1 I
KFf
{к) - со2
f> 1 '
- функция, слабозависящая от частоты в окрестности Qi (к).
Рассматривая е0 как постоянную величину, можно найти два положительных
корня уравнения (45.19)
СО!,2 (k) = ~ [А + vА2 - 4Q2 (к) cW/еоГ, (45.20)
где
Л = Q2 (к) + (c2k2 + /2)/е0. (45.21)
Функции (c)1,а (Л) определяют две ветви поляритонов. Им соответствуют
волновые функции (к) 10), имеющие в координатном представлении вид
1
Vv
Следовательно, такие элементарные возбуждения равномерно распределены по
объему V кристалла. На рис. 60 (см. также
рис. 83) приведены обе поляритонные ветви в области малых
значений волновых векторов (для случая преувеличенно больших значений /).
Частота со2 (0) = ]/ Q2 (0) + /2/е0 называется частотой продольных
экситонов.
Резонансный значения волнового вектора kr = Q и частоты Qr определяются
из условия пересечения дисперсионных кривых
% {k\ г, t) = - ехр [i (кг - сой (к)) /], ц = 1, 2.
§ 46] ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ КРИСТАЛЛА
355
свободных экситонов и фотонов в кристалле, т. е. из равенства
?1г = сСЦ'\/'г0. (45.22)
Таким образом, в резонансе А = Ar = 2Q2r-\-f2/e0. Поэтому при учете
неравенства ?2,Уе0!>/2 резонансному значению волнового вектора
соответствует два поляритонных возбуждения с частотами
Qi (Q) <=" Q,.- //>4, (Q) ^ ?2/-//V^o ° (45.23)
Обратное к (45.14) преобразование в случае изолированной экситонной зоны
Ei (ft) имеет вид
(ft) ^Хк\, 1 V%\t \i$k\ "1" ^ка, ц^Аа Vka, ц^Аа* (45.24)
Следовательно, волновые функции (ft) j 0) поляритонов содержат
суперпозиции состояний экситонов и фотонов поляризации а, электрический
вектор которых параллелен электрическому дипольному переходу dx.
Относительный вклад экситонов и фотонов в этой суперпозиции определяется
значениями функций Ukl, (1 и Vkl, ц.
В области волновых векторов, близких резонансному значению Q, смешивание
экситонов и фотонов особенно велико. Эта область тем больше, чем
больше параметр /, характеризующий взаимодействие экситонов с фотонами.
При отсутствии такого взаимодействия / = 0 и из (45.20) следует coj. (ft)
=
= c\k\/Ye0, со2 (ft) = Q (ft).
При значениях ft <; Q энергия поляритонов первой ветви практически
совпадает с энергией фотонов со! (ft) =
= c\k\/Y~z0- В этом случае н*а, 1^1* а функции Uk\, 1, Vk\, 1 и Vka, 1
близки к нулю. Основной вклад в поляритонное состояние вносят фотоны. При
значениях k^>Q поляритоны совпадают с экситонами: toi (ft) я" Q
(ft), и ki, i "а 1, vk\, \ ^ uka, i *="
"=* Vka, I 0.
§ 46. Диэлектрическая проницаемость кристалла, обусловленная экситонами
При исследовании монохроматических однородных (Reft параллельно Imft)
поперечных плоских волн в диэлектрике без свободных зарядов
удобно пользоваться не общим тензором диэлектри-
ческой проницаемости, определяющим связь вектора индукции D
волновых векторов.
Пунктирные линин изображают дисперсию фотонов ck/Vzo и экситонов Q (/г).
