Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Если кристалл занимает ограниченную область пространства, а поле, как
обычно, находится в неограниченном объеме, то экситон с волновым вектором
k взаимодействует с бесконечным числом степеней свободы поперечного
электромагнитного поля. Поэтому энергия экситонов распределяется по
бесконечному числу степеней свободы поля, что приводит к радиационному
затуханию экситонных состояний, если они первоначально возникли в
кристалле. Учет взаимодействия экситонов с колебаниями решетки приводит к
дополнительному их затуханию (релаксации). Роль
350 КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ.IX
процессов релаксации в реальном поглощении света кристаллом будет
обсуждена в других параграфах этой-книги.
Как было показано в §44, оператор, характеризующий диполь-ные экситонные
состояния кристалла с одной молекулой в элементарной ячейке в
представлении чисел заполнения экситонов Nf (k), имеет вид
Яех = ?Ef (к)ВЪ,Вф (45.1)
к,1
где Bif и Bbf - бозевские операторы рождения и уничтожения экситонов,
соответствующих внутримолекулярному возбуждению = квазиимпульсу hk и
электрическому дипольному моменту квантового перехода (из основного
состояния) й*). Суммирование в равенстве (45.1) выполняется по всем
значениям к, лежащим в первой зоне Бриллюэна ^-пространства.
В представлении чисел заполнения фотонов оператор энергии поперечного
электромагнитного поля (без нулевой энергии поля) можно записать в виде
(см. [5], § 80)
СО
fic!k i 'a*"* " = 1. -2, (45.2)
к, a
где с | k (= со (к) - частота фотона (с -скорость света); а%а и ака -
бозевские операторы рождения н уничтожения фотонов с энергией На>(к),
импульсом Нк и единичными векторами поляризации ека такими, что (в/,i-
e*2)==0, (keka) = 0 при а =1,2. Суммирование в (.45.2) проводится по
всему, ^-пространству.
Оператор векторного потенциала Л (г) электромагнитного поля,
нормированного для каждой волны с волновым вектором k на один фотон
энергии /2со (k) в объеме V кристалла (при кулонов-ской калибровке div ^4
=^= 0), выражается через операторы ака с помощью формулы
СО ___
А и ^ У, ]/"ууц екаука ехр (ikr), (45.3)
k, a
Y*a = Y-ft, а = + a, a =1,2.. (45.4)
В координатном представлении оператор взаимодействия электромагнитного
поля с молекулами кристалла в дипольном приближении, т. е. когда
пренебрегают разностью фаз волны в пределах одной элементарной ячейки,
определяется выражением
Ь2амр"+ш*2л'2№> ¦ (45-5>
п п
*) Обобщение на случай кристаллов с несколькими молекулами в элементарной
ячейке не представляет труда.
§ 45] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭКСИТОНОВ С ФОТОНАМИ. ПОЛЯРИТОНЫ 351
А
где ^" - суммарный оператор импульса всех 5 оптически активных электронов
нейтральной молекулы, находящейся в узле п кристаллической решетки; е и
/и -заряд и масса электрона.
Если Bhf - введенный в § 44 оператор перехода п-й молекулы из основного
|0) в возбужденное |/> состояние, то в представлении вторичного
квантования оператор рп преобразуется к виду
Р"~" Ц ((f\Pn\0)Bh + (0\pn\f)Bnl). (45.6)
t(i- 0)
Пусть Нп - гамильтониан 5 оптически активных электронов
молекулы п, а й" - оператор их суммарного дипольного электри-
ческого момента. Тогда имеют место перестановочные соотношения
К Н"] = Р"> К, К] = ieShb^.
Используя эти перестановочные соотношения, находим
а !Ш/
(f\Pn\0) = ~df, (45.7)
2 соrfdjf = ? S8xy, ' df=se(f\r\0). (45.8)
0)
Равенство (45.8) выражает правило сумм сил осцилляторов F* переходов в
молекуле
Fxf =2m(dx)2 tt>f/e2h, ^FX==S. (45.9)
i
Подставив значения (45.6) и (45.7) в оператор (45.5), находим оператор
взаимодействия экситонов и фотонов в дипольном приближении
я"- v=- i 21и/ (¦А (")-в"/)+2^ 2л 2 (") • (45 •1 °)
п/ П
Подставив в это выражение значение (45.3) и переходя к операторам
экситонов Bkf с помощью канонического преобразования
' к
получим окончательное выражение для оператора экситон-фотон-ного
взаимодействия (без учета процессов переброса) в представлении чисел
заполнения экситонов и фотонов
Н^ч=2Ш\У+каУ,!а+ 2 °{К "* (45.11)
*. а *, a, j
352 КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ.IX
где
D(k, а, /) = -щ (<9kadf) Y(45Л2)
Q2P = 4ne2/mv = Qq/S (45.12а)
- квадрат плазменной частоты, у -объем элементарной ячейки.
Из выражения (45.11) следует, что экситоны (k, dt) взаимодействуют с
фотонами Q, вьа только при условии Q - ±k и (d/eta) фО. Продольные
экситоны, т. е. экситоны с направлением волнового вектора к, параллельным
dt, не взаимодействуют с поперечным электромагнитным полем. С учетом
(45.1), (45.2) и (45.11) гамильтониан системы взаимодействующих экситонов
и фотонов можно написать в виде
(45ЛЗ)
к
где
= (k) (BttBkf + B-k, fB-k, f) +
I
+ 2 Ac I * I (1 + {fltaflka + Q-k, aft-k. a) +
a
*Ь abaa-k, ") +
a
+ 2^^* a> - B-k,f) + Y-*,a- ?*/)]• (45.13a)
a, f
Оператор (45.13a) преобразуется к диагональному виду
= + И = 1 > 2,
ii
с помощью канонического преобразования Боголюбова - Тябли-кова
В/г! - 2 Ri1 W Ukl, ц -f- ( к) Vhj, |х],
* (45.14)
&ka = (к) Uka, ц ^|i ( к) Vka, |х]*
