Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
в элементарной ячейке, были проведены Коэном и Кэффером [296]. Они
показали, что при учете взаимодействия молекулы со всеми находящимися в
сфере радиуса R молекулами простого кубического кристалла с постоянной
решетки, равной а при ka-^l, суммы L(k) определяются выражением
где s = f?/|rf|; jx (х) - сферическая функция Бесселя. Учитывая, что при
kR 1
при малых* но не равных нулю значениях k в кристаллах бесконечных
размеров
Функция (44.63) является неаналитической функцией в окрестности Л = 0.
При приближении k к нулевому значению Lx(k) равно 8/3л:й2ай, если k\\s, и
равно - 4/алй2а3, если k L s.
Энергия экситонов в кристаллах с одной молекулой в элементарной ячейке
определяется формулой (44.22). Следовательно, в случае кубических
кристаллов энергия длинноволновых экситонов определяется выражением
Э/i (kR) kR
), (44.61)
мы убедимся, что при любых значениях R
limL#(?) = 0 при А->0.
С другой стороны, при л:^>1 функция j (х)
cos х
х
поэтому
(44.62)
4лd2 Г (sft)2 1
Л-3 /?2 Я
ft2 3
¦1-
(44.63)
Er (к)" IJ (1 - IbWL) + Д" + Я- (44.64)
346 КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ.IX
Согласно этому выражению в оптически изотропных кубических кристаллах
возможны два типа длинноволновых экситонов для любого направления
волнового вектора к: поперечные экситоны, у которых dj^k, и продольные
экситоны, у которых d\\k. При этом согласно (44.63) в кристаллах
бесконечных размеров энергии этих экситонов, соответственно, равны при ka
1
4га/2 ?il0 = At+D + -^(44.65)
?i = A( + D
За3
При конечных значениях R в точке k - О энергии обоих типов экситонов
одинаковы и равны (Рис- 58). При возраста-
нии k энергии поперёч-ных и продольных эксито- 1
нов приближаются (тем быстрее, чем больше R) к соответствующим значе- ~
ниям (44.65).
Рис. 58. Энергии продольных и поперечных длинноволновых экситонов в
кубических кристаллах конечных и бесконечных размеров.
-100
-200-
я
ah.
bkh
Рис. 59. Энергии первых двух экситонных зон (смещение на величину At-)-
D) в кристалле антрацена.
Вычисление энергии экситонов для трех направлений волновых векторов в
моноклинном кристалле антрацена, соответствующих первому электронному
возбуждению молекулы (со~27 570 слг1), было проведено Давыдовым и Шекой
[297].
Полученные в [297] значения энергий (44.54) двух экситонных полос E^(k)
для трех направлений волнового вектора k изображены на рис. 59. На этом
же рисунке указаны направления дипольных электрических моментов рц
квантовых переходов в соответствующие состояния в области Экситонная
полоса с индексом |я = 2 относится к дипольному моменту перехода,
направленному вдоль моноклинной оси в кристалле. Энер"
ВОЗБУЖДЕНИЯ С НЕПОДВИЖНЫМИ МОЛЕКУЛАМИ
347
гию экситонов, соответствующую этой зоне в области малых к, можно
аппроксимировать приближенной формулой
Е2 (к) = ?0 + A cos2 ср + Ма cos (ka) +.Mb cos (kb) + Mc cos (kc),
(44.66)
где ф - угол между векторами k и b, ?0 = 25.240 слг1, А = = 220 слг1, Ма
= - 23,2 слг1, Мс = - 1 см-1, Мь = 15 см-1.
Поскольку направление электрического момента перехода в анизотропном
кристалле определяется симметрией кристалла, то поперечные и продольные
экситоны соответствуют только некоторым направлениям волнового вектора. В
частности, экситоны энергетической зоны (44.66) поперечны, если волновой
вектор перпендикулярен моноклинной оси Ь, и продольны, если он параллелен
этой оси. При этом поперечные экситоны имеют положительную эффективную
массу, а продольные - отрицательную,
44^4. Экситоны в кристаллах инертных газов. Инертные газы (неон, аргон,
криптон, ксенон) кристаллизуются при низких температурах и образуют
гранецентрированную кубическую решетку. Каждая ячейка Вигнера - Зейтца
содержит один атом. Ме>кду атомами действуют слабые ван-дер-ваальсовы
силы. Следовательно, по типу связи кристаллы инертных газов относятся к
молекулярным кристаллам.
Эти кристаллы являются диэлектриками с широкой щелью (10 - 20 эв) между
валентной зоной и зоной проводимости. Экспериментальное изучение
оптических спектров твердых газов долгое время тормозилось сложными
условиями спектроскопии вакуумного ультрафиолета при низких температурах.
Лишь в недавнее время начались активные исследования спектров поглощения
[298 - 300] и спектров люминесценции [301 -304] кристаллов инертных
газов.
Инертные газы послужили Френкелю [305, 306] первой моделью для построения
теории бестоковых коллективных возбуждений в твердых телах (теория
экситонов). Однако оказалось, что первоначальные идеи Френкеля применимы
к кристаллам инертных газов с очень большими оговорками. В молекулярных
кристаллах ароматических соединений первые электронные возбуждения (3 - 4
эв) соответствуют квантовым переходам сравнительно хорошо изолированных
я-электронов молекул. В атомах же инертных газов первые электронные
возбуждения (8,44 эв - в ксеноне, 10,03 эв - в криптоне, 11,61 эв - в
аргоне и 17,7 эв в неоне) соответствуют квантовым переходам самых внешних
