Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
или Электрическими квадрупольными моментами переходов с компонентами
или переходами более гвысокой мультипольности (см. [5], § 96).
Для анализа коллективных возбуждений кристалла удобно перейти к
представлению вторичного 'квантования ([273 - 276]). В представлении
вторичного квантования все операторы выражаются через операторы Bhf и
Bnf. Операторы Btj характеризуют переход молекулы п из основного в /-е
возбужденное состояние; операторы Bnf характеризуют обратный переход.
(фnf | Фт^) - ftfg&nm'
(44.3)
dnf ---- ? .{фл/ I I Фло)*
(44.4а)
(44.46)
Qnfy) = е(<Рпf | ху 1 фл0)
t
(44.4в)
332 КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. IX
В частности, оператор энергии (44.2) преобразуется к виду Н = %о "Ь ^л/
"Ь
п,1
+ ~ 2' ^-(^/ + вя/)№ + Втг), (44.5)
n,m,f,g
где ^о - энергия основного состояния кристалла; A(f = (f - t" ¦- энергия
перехода молекулы в f-e возбужденное состояние;
{(фпфт \Vnm\ фтфл) ~ <флфт | V пт \ ф?"ф°>} (44.6)
т(фп)
- изменение энергии взаимодействия всех молекул кристалла с одной из
них, когда последняя переходит в f-e возбужденное состояние;
М [fm = {^Wm\V пт \ фтфл)" М L = М fnm (44.7)
- матричные элементы обмена возбуждениями между молекулами пит.
Оператор BnfBnf определяет вероятность того, что молекула п находится в
/-м возбужденном состоянии. Поскольку каждая молекула может находиться
только в одном возбужденном состоянии, а число молекул в кристалле eN, то
операторы B"f определены на пространстве функций, для которых справедливы
операторные равенства
J]BnfBnf = 1, 2]BZfBnf = eN. (44.8)
f ' n,f
Вследствие условия ортогональности (44.3) операторы Bnf удовлетворяют
перестановочным соотношениям
[Bnf, Bmg] = [Bnf, = 0, если tijtm, или / g. (44.9а)
Если же они относятся к одинаковым парам индексов, то выполняются
фермиевские соотношения коммутации
BnfBtf + B'sBnf = 1, B*nf = (Bk)2 = 0. (44.96)
Таким образом, это операторы Паули (см. § 17).
Ниже мы будем рассматривать возбужденные состояния кристалла,
соответствующие возбуждению только одной молекулы, В этих состояниях
среднее значение оператора равно (eN) 1
и для них с точностью до величин порядка (aNy1 коммутационные соотношения
(44.9) можно заменить простыми бозевскими
[Bnf, Bmg] = 8nm8fg. <44.10)
Такое приближение будет использовано в этой книге.
ВОЗБУЖДЕНИЯ С НЕПОДВИЖНЫМИ МОЛЕКУЛАМИ
333
Практически во всех молекулярных кристаллах при электронном возбуждении
выполняется неравенство
/.$(*)<Ле,+?>" (44.11)
где
/^(Л)=2Л1$'трехр[1Й(л-/я)]. (44.12)
п, т
В этом случае, как показано в [276] (гл. III, § 3), можно пользоваться
гайтлер-лондоновским приближением, при котором оператор энергии (44.5)
заменяется более простым оператором
Я = ё0+ Ц (Де, +Df) + 2' Mf'm BtfBmg. (44.13)
п, f п, т
f, ё
Поскольку операторы B'nf и Bnf характеризуют состояния отдельных молекул,
жестко закрепленных в узлах решетки п, то будем называть представление, в
котором все операторы выражаются через операторы Bhf и Bnf, узельным
представлением. Ниже, используя различные приближения, мы исследуем
собственные значения оператора энергии кристалла, заданного в узельном
представлении выражением (44.13).
44.1. Молекулярные экситоны в кристаллах с одной молекулой в элементарной
ячейке. Для кристаллов с одной молекулой в элементарной ячейке индексы я
и т заменяются векторами решетки п и т и оператор (44.13) преобразуется к
виду
Я = §о + 2(Д"/+/?/)В"/в"/ + 1]' MnmBtfBmg. (44.14)
n,f п, т
Рассмотрим два дальнейших упрощения оператора (44.14).
А. Приближение одного возбужденного внутримолекулярного уровня.
Рассмотрим случай, когда имеется один или несколько невырожденных
внутримолекулярных возбуждений /о, для которых выполняются неравенства
MfA,gm < М%'" = Mfl т. ' (44.15)
Тогда каждый из уровней /0 можно приближенно рассматривать независимо от
остальных. Матричный элемент М%т характеризует резонансный обмен
возбуждением Де/0 между молекулами пит.
Возбуждение кристалла, соответствующее внутримолекулярному возбуждению
Д^0, определяется гамильтонианом
AHf = Я - Шй = 2 (Дtf+Df)B^nfBnf + MfnmB+fBmf. (44.16)
п п, т
Здесь и ниже для упрощения записи индекс 0 у буквы / опущен.
Диагонализадия оператора (44.16) осуществляется переходом от бозевских
операторов Bnf, удовлетворяющих перестановочным
334 КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ.IX
соотношениям
[B"f, ад = 6лт, [ВпГ, Вт/]-0, (44.17)
к новым бозе-операторам Bf (к) с помощью унитарного преобразования
= ('Ля)' (44.18)
' ь
где iV -число элементарных ячеек в кристалле; k - волновой вектор,
принимающий N дискретных значений в первой зоне Бриллюэна. Операторы Bf
(ft). удовлетворяют бозевским перестановочным соотношениям
[5/ [ft], Bf (ft')] - S**-, [fl/(ft), fi,(ft')]==0. (44.19)
При этом операторы Bf'(ft) рождают состояния, характеризующиеся
квантовыми числами / и волновыми векторами ft. Операторы 5^ (ft)
уничтожают те же состояния.
Подставив (44.18) в (44.16), находим
Д H = ^[Ay. + Df + Lf(k))Bf(k)Bf(k), (44.20)
