Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Hint (t) = w (t) E0 exp (- mt + yt), (46.19)
w(t)=-^^(ed)[B+(k, t)-B(-k, 0].
§ 461 ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ КРИСТАЛЛА 359
Если до включения взаимодействия статистический оператор равнялся
Ро = ехр (- P#)/Sp {ехр (- р//)}, Р = (46.20)
Н - гамильтониан системы до включения взаимодействия, то из
(46.18) следует, что к моменту времени t в линейном приближении по
внешнему полю он будет равен
t
P(0 = Po + jjj- J [tfmt(T), po] dx. (46.21)
- 00
Подставим значения (46.21) и (46.19) в (46.15) и проведем циклическую
перестановку операторов под знаком шпура. Тогда, полагая равным нулю
среднее значение удельного электрического дипольного момента кристалла
без внешнего поля, получим
со/ (ed) d
<Р(п, 0) = - ехр [i (kn - at) + у/] X
t
X U C(T)(sp{p0[?(fc, /),Д+(*,т)]}-
- Sp {ро[В+(-k, t),B(-k, t)]})dx,
где С (т) = ехр [ш> (х - t) + Y (х - 0]-
Введем под знак интеграла ступенчатую функцию
в(/-т) = (' (46.22)
| 0 при t< т,
тогда верхний предел интегрирования можно заменить бесконечностью. При
этом под знаком интеграла окажутся двухвременные запаздывающие гриновские
функции *)
G(k, t - х) = - i&(t - x)Sp {ро[В (k, t - т), B+(k, 0)]},
G+(- k, t - x) = - i&(t - x)Sp {Pc[B+(- k, t - т), B(k, 0)]}.
(46.23)
Следовательно, можно написать
(P(k, to)> = _"^f^.[G(ft, S") - G+(-Л, -ш)], (46.24)
*) Запаздывающие гриновские функции рассматривались Боголюбовым и
Гябликовым [313] (см. также [314]).
360 КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ.IX
где
й> = ю + |у" (46.25)
СО
G(к, ш) s "Я (к)- 5+ (Л)"5 = ~ § в**-*G(к, t) dt,
- СО
со
G+(k, -со) = "5+ (к); = j J е^-*0Цк, t)dt
- ОО
(46.26)
- фурье-образы двухвременных запаздывающих гриновских функций или их
энергетические представления.
Сравнивая (46.24) с (46.3), убеждаемся, что компоненты тензора
диэлектрической проницаемости, обусловленной электрическими дипольными
экситонами, соответствующими внутримолекулярному возбуждению |/> с
дипольным моментом перехода d, определяются выражениями
гху(к, и) = 6Xy-A^§^-[G{k, a)-G+(-k, -а)]. (46.27)
Энергии экситонных состояний значительно превышают энергию тепловых
колебаний решетки кристалла. Поэтому, если оператор энергии Н содержит
только операторы экситонов (молекулы закреплены в узлах решетки), то
усреднение с помощью статистического оператора р0 можно заменить
усреднением по основному состоянию | 0) системы без экситонов. Таким
образом, временные запаздывающие функции Грина принимают вид
G(k, t) = - г(c) (i) <01 [5 (k, f), ВЦк, 0)]|0>. (46.28)
В этом случае их фурье-образы удовлетворяют уравнению
Й(c)"Я(Л); В+(*)"5 =
= <0| [В (к), ВЦк)]\0) + (([В(к), Я]; ВЦк)))~. (46.29)
Это уравнение позволяет вычислять фурье-образы запаздывающих гриновских
функций без предварительного вычисления самих гриновских функций.
Применим уравнение (46.29) к случаю, когда гамильтониан экситонОв
Н = ^ ftaf (к) В+ (к) В (к). (46.30)
к
При этом [В (к), H] = h(Hf (к) В (к), [В (к), 5+(Л)] = 1. Поэтому
из (46.29) следует
G(k, а) а "В (Л); 5+ (Л)"5 = {ft [со + iY - со/ (46.31)
§ 46] ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ КРИСТАЛЛА 361
Такой же результат получим, вычислив предварительно временную
запаздывающую гриновскую функцию. В самом деле, согласно (46.17) В (ft,
t) = B(k)exр[-/со(ft)/]. Поэтому временная гриновская функция (46.28)
имеет вид
G(ft, /) =- /0(/)ехр[-/со (ft)/]. (46.32)
Вычисляя
СО
"В (ft); В+(*)"5 = 1 § G (ft, t)e**dt,
- СО
получим значение (46.31).
Если параметр у имеет очень малое значение, то, используя
(46.27) и тождество
(x + iy)-1 = Sb~ - inb (х), у-+0,
получаем
8ncof dfdf
8ху (ft, со) = Ьху----{^со [со2 - со; (ft)]-1 - т} (ft) лб (со2-a}
(ft))}.
Если параметр у имеет конечное значение, то
8ясOfdjdy
8ху (*. ") = &ху - йг,|-ш2_ш2 (k) + i2a,f(k) у] '
Найденные выражения для диэлектрической проницаемости определяются одной
изолированной полосой экситонных состояний. В области частот co = co^(ft)
вклад возбужденных состояний другой энергии можно учесть заменой бху
тензором е°ху, слабозави-сяшим от частоты в окрестности со^ (ft). В этом
случае
8ncof d'ld.H
&xy(k, to) = гху - ъ + i2^ Yj • (46.33)
Из выражения (46.31) следует, что в окрестности резонанса co^co^(ft)
выполняется неравенство
IG (ft, to) | > | G+ (ft, -to') I,
поэтому при вычислении диэлектрической проницаемости вместо
(46.19) можно пользоваться выражением
4no)f dldf
вХу(к, to) = eJj,-----^-^-G(ft, .to), co = co + t'v. (46.34)
В этом случае вместо (46.33) получаем выражение
4л ajd'tdV
Ex>i (Л' Ex,J vafl [oj + iy - coy (Й)] *
которое в окрестности co^co^(ft) совпадает с (46.33).
362 КОЛЛЕКТИВНЫЕ ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ В КРИСТАЛЛАХ [ГЛ.IX
Наиболее существенным свойством диэлектрической проницаемости,
обусловленной экситонной полосой со/(k), является ее зависимость от
волнового вектора к. Такая зависимость носит название пространственной
дисперсии.
В случае квадрупольных экситонов оператор взаимодействия
(46.19) согласно (46.10) имеет вид
Ны (0 = WQ (t) Е0 ехр (- Ш + Y0,
