Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Давыдов А.С. -> "Теория твердого тела" -> 135

Теория твердого тела - Давыдов А.С.

Давыдов А.С. Теория твердого тела — М.: Мир, 1979. — 646 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 233 >> Следующая

(слабая связь)
В предыдущем параграфе было показано, что система слабо-взаимодействующих
экситонов полосы / и фононов описывается оператором Гамильтона
Н = //ех + //vlb + Н\п\,
(48.1)
§ 48] ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМЫ ЭКСИТОНОВ И ФОНОНОВ
373
где
яех = 2йю (*) &(k)B(k),
(48.1а)
ь
Нvib - fiQs ((7) bqsbqsi
(48.16)
^ F(k, q)B+(k + q)B(k) q>qs, (48.1 в)
S, ft, q
<Pg"s - Ф- q, s - bqS Ы- qy s*
При отсутствии взаимодействия H\nt оператор (48.1) описывает элементарные
возбуждения кристалла, характеризующиеся некоторым числом независимых
экситонов и фононов. Оператор взаимодействия (48.1в) не изменяет общего
числа экситонов в системе, а только вызывает переходы экситонов внутри
энергетической зоны из одних состояний (к) в другие состояния (к')
(.поперечная релаксация) с испусканием и поглощением фононов.
Наряду с оператором (48.1 в), не изменяющим общего числа экситонов в
системе, следовало бы еще рассмотреть операторы, характеризующие процессы
рождения и уничтожения экситонов. К таким операторам относятся: а)
операторы взаимодействия экситонов с фотонами, приводящие к их взаимному
превращению. Эти процессы характеризуются радиационным временем жизни •rY
--' 10~7 - 10-9 сек; б) операторы неадиабатичности, приводящие к
безызлучательным превращениям энергии экситонов в энергию колебаний
решетки (продольная релаксация). Теория безызлуча-тельных переходов
развита слабо. Поэтому эти процессы учитываются феноменологически (см.
ниже) путем формального введения малого параметра г)=1/тг, где т7 -время
жизни по отношению к безызлучательным переходам. В люминесцирующих
кристаллах ty < хт. В нелюминесцирующих кристаллах справедливо
неравенство тт>тг.
Чтобы определить диэлектрическую проницаемость кристалла, описываемого
гамильтонианом Н согласно (46.27), надо вычислить запаздывающую функцию
Грина экситонов
G (k, i) see "[В (к, 0; в+ (*, 0)]" = -10 (о Sp {ро [В (к, о, ?+ (к,
0)]},
Энергии экситонных возбуждений значительно превышают энергию тепловых
колебаний решетки кристалла, поэтому усреднение в (48.2) можно проводить
по состояниям фононов без экситонов, т. е. можно использовать
"приближение нулевой
(48.2)
где операторы экситонов удовлетворяют уравнению
ш йВ{^-=[В(к, t), Н].
(48.2а)
374 ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
температуры для экситонов" [317]
[гл. х
(([В (k, t), В* (к, 0)]" = - /0 (t) <0! [В (к, t), ВЦк, 0)]|0>, (48.3)
где 10) - состояние кристалла без экситонов, черта указывает на
усреднение по состоянию фононов при температуре Т.
Для вычисления гриновской функции (48.2) применим метод, развитый
Боголюбовым и Тябликовым [313].
В системе, описываемой гамильтонианом (48.1), операторы экситонов и
фононов удовлетворяют уравнениям
. dB (ft,- t) dt
:(c)(ft)fl(*) + _^2F"(*. <l)B(k + q, t) q>f9 (t),
s, q
id^~Qs(q)biq+ Fs(k, -q)B+(k-q, t)B(k, t).
ь
(48.4)
Дифференцируя (48.2) no t и учитывая уравнения (48.4) и равенства
dB (t)
dt
= &(t), [B(k, 0), B*(k, 0)]=1,
получим уравнение для функции Грина
. dG (ft, t)
dt
= 6(0 + <o(k)G(k, t) + -±J^Ft(k, q)(P1 + P3), (48.5)
s, q
где
Pl{t)^(([B(k + q, t) Ыд (t)\ В+(к, 0)])>, P2(t)^(([B(k + q, t) bs, -q
(ty, ВЦк, 0)]))
- новые гриновские функции более высокого порядка. Дифференцируя
Pi{t) и P<i(t) по времени, опуская малосущественное слагаемое с 9 = 0 и
используя (48.4), получаем два уравнения
. dPx it)
dt
[сo(k + q)-Qs(q)]P1 (t) +
+
%Vn
2 Ft (k + q, Ql) Ф, (0 - 2 Fs (klt q) ф3 {t)
si qi *i
dt
+
nV'N
si?i
, (48.6)
(48.6a)
§ 48] ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМЫ ЭКСИТОНОВ И ФОНОНОВ 375
где
о"!(О = "[я(*+?+?!; Офвцк, 0)]",
+ q + t) ф51?1 (t) bs,-q(t); В+(?, 0)], (48.7)
Фз (0 = "[? (ft+^; Об+(*1+^; t)B{ku t), в+ (ft, о)]".
Дифференцируя функции Грина (48.7) по времени, получим новую систему
уравнений, содержащую гриновские функции еще более высокого порядка.
Таким образом, можно получить бесконечную систему уравнений.
Бхли желают оборвать бесконечную цепочку уравнений на функциях Грина
Pi(t), то при вычислении (48.7) можно заменить средние значения
произведений операторов на произведение средних значений операторов,
относящихся к одному времени t (подчеркнуты в выражениях (48.7)), на
среднее значение произведений оставшихся операторов. Таким образом,
получаем приближенные выражения
Ф1 (t) яа 6SSl69l_9 (1 -f- vsg) G (ft, t),
Ф i,{t)^bssfiqi,-qVsqG(k, t), (48.8)
Фз(t)^bkkiG(k, t),
где
г57 = {ехр[рйЛ^)Й]- I}-1, p = l/&7\ (48.8a)
Подставляя выражения (48.8) в (48.6), находим
i = [о> (ft + q) - Qs (q)] P, (0 + Ф G (ft, t), (48.9)
i^ = [(o(k + q) + Qs(q)]P2 + ^Fs(k, q)(vsq+l)G(k, t).
(48.10)
Уравнения (48.5), (48.9) и (48.10) образуют замкнутую систему,
определяющую функцию G(ft, t). Перейдем в этой системе уравнений к
энергетическому представлению
СО
2nG(ft, t) -h G(ft, (о) е~ш da,
- СО со
2л Pt(t)=\ Pi ((r)) е~'(r)( da, i = l,2, (48.11)
- СО
со
2лб(0= \ е~ш dco,
- СО
<о = (о-}-й]. (48.11а)
376 ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. X
Малая положительная величина г| в (48.11а) формально учитывает процессы
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 233 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed