Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Q, ос s, q k
tfint определено выражением (48.28), не содержащим членов, определяющих
неупругое рассеяние экситонов на фононах.
Для фононов с вектором поляризации, направленным вдоль оси Ь, оператор
Нint сводится к (48.29) при значении
Г 2 nd j
D(Q, a) = Z)0 = iwf у
Используя далее (48.34) и (48.33), находим компоненту диэлектрической
проницаемости
4jico|d2
SbbiQ, (r)) = 1 " V(02 +
соответствующую резонансному поглощению при энергии Е (Q).
*) Здесь и ниже в этом разделе используются единицы, при которых
й= 1.
382
ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. X
Для фотонов с вектором поляризации, направленным вдоль оси а, оператор'
взаимодействия #int сводится к оператору
^int - ^ ^oYOa [^+ (Q - я) - В (Q - Q)]
ф-q, 1 + bq, J,
где индекс 1 указывает вращательное качание вокруг оси с\
Компоненты Gaa (Q, со) фурье-образа гриновской функции (48.34) при а - а
определяются бесконечной последовательностью слагаемых, которым можно
сопоставить ряд фейнмановских диаграмм
- фурье-образ гриновскдй функции свободного экситона,
- фурье-образ гриновской функции свободного фонона. Узел Q
лов в каждой диаграмме надо перемножить и провести суммирование по всем
значениям волновых векторов внутренних линий фотонов, экситонов и
фононов. В длинноволновом приближении участвуют только фотоны с волновыми
векторами Q?="0. Поэтому, пренебрегая суммированием по Q, получаем [320]
ч
(48.36)
(48.37)
6aafQ,oj) = ~~- + -~*
+
если отдельным линиям сопоставить выражения:
- фурье-образ гриновской функции свободного фотона,
CZZD =Gex (Q, (0) = [<о -? (Q)-ftT]]-1
- = До (д, со) = 2Qq [со2 - Q2 (д) + tt]]*1
соответствует функции -^-T1(g)D0. Вклады от. всех линий и уз-
"a 2c\Q\ N
1 V ri (<?) ! До I3
N ^jco- Е (Q - q) - Q (q) -fir)'
(48.38)
ч
§ 49] ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ПРИ СИЛЬНОИ СВЯЗИ 383
Подставив (48.38) в (48.33) при а = а, находим компоненту тензора
диэлектрической проницаемости
, ~ 1 v 4л d!(ofn (q)
SaaiQ, <о)= --ДГ 2a)2[co-?(Q-g)-Q + ' (48'39)
ч
соответствующую широкополосному поглощению света, поляризованного вдоль
вектора а.
Отношение интегральной интенсивности широкополосного поглощения Imeaa(Q,
со) к интегральной интенсивности резонансного поглощения Ime*ft(Q, со)
равно (Г*(0)).
Для вычисления явного вида вещественной и мнимой части (48.39) необходимо
знать структуру энергетических полос Е (ft) и Q (q). Для простой модели
кристалла эти выражения выполнялись в [320].
§ 49. Диэлектрическая проницаемость при сильной связи экситонов с
фононами
Оператор Гамильтона (47.12) в случае "сильной" связи экситонов с фононами
(выполняется неравенство (47.20)) имеет вид
Н = Нех -f- HVib + Hfnt- (49.1)
Оператор взаимодействия Hfnt согласно (47.16) не зависит от волновых
векторов экситонов, а зависит только от их числа, которое определяется
оператором
п = .(49.2)
к
поэтому можно образовать новый оператор фононов
Н\\Ъ ~ Ну\Ъ H\nt " 2 ft&s(q) {btqbsq-^nA (sq) [bSq -f- - q\, (49.3)
s. Я
где
A(sg) = A*(s, -y)=-. (49.4)
Mlsq \ N
Далее будут рассматриваться только состояния кристалла, в которых
собственные значения оператора п равны либо нулю, либо единице, поэтому "
= п2.
Оператор преобразуется к диагональному виду путем
перехода от операторов bsq и 5 (ft) к новым операторам ps9 и A (ft) с
помощью унитарного оператора
384
ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. X
где
0 _ _ст+ == 2 {л* (sq) р^ - Л (sq) ps?}.
s, q
Таким образом, находим
bsg = = ps? - Л* (sq) 2 (k) A (к),
k
В (k) = (k) S+ = exp (-a) A (k),
H№ = H'2lai(k)A*(k)A(k),
A
Hvib= 2^(<7)'{Ps+?Ps?-"|A(s, q) |2},
S. Я
при этом n = ^B+(k) В (k) = ^]A+(k) A (k),' n - n2 = 0 k к оператор
энергии возбуждения кристалла принимает вид
Н = Н^ь + Нш = 2 * (к) Л+ (к) А (к) + 2 Ш, (q) Ps+?P5?, (49.11)
к s, q
где
* (к) = Й<о (к) - 2 |-Л (s, q) [2 Q, (?) (49.12)
S. ?
- энергия новых элементарных возбуждений кристалла, порождаемых
оператором A+(k). Она включает энергию экситонов Йсо(Л), соответствующую
внутримолекулярным возбуждениям, и энергию деформации решетки.
Операторы ps+7 порождают новые фононы в деформированной решетке. Они
соответствуют колебаниям молекул относительно новых положений равновесия.
Чтобы найти явный вид смещений молекул в эти положения равновесия, надо в
операторе смещений (47.9) перейти к операторам новых фононов с помощью
равенства (49.7) и сохранить часть, не содержащую ps9. Тогда получаем
Д/?? = - п J.]/"2IjNQs\q)eiM lA(s> q)e~iqnJr к. с.]. (49.13)
S. Ч
В соответствии с (46.27) диэлектрическая проницаемость оптически
изотропного кристалла выражается через фурье-образ запаздывающей функции
Грина экситонов G(k, со) с помощью формулы
e(k, M) = e0--4lt"~-G(fe, ш), (49.14)
(49.6)
(49.7)
(49.8)
(49.9)
(49.10) , 1. Итак,
§ 49] ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ПРИ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ 385
где
со = и4-г'П.
G(ft, ") = i J "[5 (ft, О, Я+ (*, 0)]" л.
С помощью (49.8) и (49.11) находим
В (ft, 0=e-a('M (ft, 0) ехр (-§ (ft)//ft), (49.15)
здесь
о (0 = 2 № (Я)]~1 Ь* (9) (9)' Ps+? - Xs (Q) е~ (<?) #Р"].
