Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
4 = J {[(8>/?-(SpK)4SpK2-27^ Ja^0-— 2Г^ УЩ&х. (55)
512
Глава IS
Исключение функции следования
Функция следования N0 входит во временную компоненту (23) уравнений для начальных значений и в интеграл действия лишь алгебраическим образом. Это обстоятельство можно сделать более очевидным, введя обозначение
Уч=T [N‘ \ Г+nI I'«- S?(3 Wj (56)
и записав
Y2 = (Spv)2- SpY2, (57)
где Y2 можно назвать «сдвиговой аномалией». Тогда
Kv-ty. т
где Kij — мера истинной внешней кривизны, относящаяся к изменению длин пространственноподобных отрезков на единицу собственного времени, разделяющего две гиперповерхности. Наоборот, Yij играет аналогичную роль, когда еще неизвестна функция следования
(масштаб собственного времени), так что для нее необходимо использовать чисто номинальную временную координату х°. В нашем действии «кинетический» член принимает вид
(Sp К)* — Sp K2 = -щ • (59)
и преобразованное действие, подлежащее варьированию, записывается как
А = / { (<3> - 27“jl ±N0 - ¦- 2ГІХ} VwE d*x. (60)
Если экстремум относительно N0 существует, то он имеет
место при
HwftwT- (61)
Оба знака этого корня с физической точки зрения дают одно и то же. Смена знака W0 приводит к соответствующей перемене знака Nh. При этом изменяется лишь ус-
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 513
ловно взятое направление возрастания времени. Байер-лайн и др. [29] так комментируют результат, выраженный в уравнении (61): «Теперь становится определенной не только толщина тонкого сэндвича между и <3><?Р" при задании и но и его расположение
в окружающем Именно в этом смысле мы обнаруживаем, что трехмерная геометрия является носителем информации о времени в общей теории относительности».
Сжатый вариационный принцип для случая двух гиперповерхностей как математическая формулировка принципа Маха
Подставляя выражение (61) для функции следования в действие (60), мы придем к «сжатому» вариационному принципу для случая двух гиперповерхностей1).
т=/ ІМггГх-aW+
+ T*±kNk} у d3x = Экстремум. (62)
В электродинамике такому вариационному принципу для случая двух гиперповерхностей аналогичен принцип действия в форме
/ (ж — W) d%X ~ Экстремум. (63)
В сочетании с определением
Е = — gradq) (64)
уравнение (63) равнозначно одному-единственному дифференциальному уравнению
V2<p = — 4лр — div А (65)
1J Вопрос о единственности решения задачи начальных значений вполне ясен в случае электродинамики на замкнутом или ориентируемом трехмерном многообразии. Более подробно об этом говорится в приложении В, где рассматривается также возможность существования геометродинамического аналога электриче-
ского заряда
33 Зак. 1740
514
Глава 15
для одного только потенциала <р. В уравнении (62) заданными все еще считаются значения метрики Wgik на гиперповерхности, скорость изменения этой метрики относительно параметра х°, инвариант скалярной кривизны <3)/? данной геометрии и плотности энергии и потока энергии. Для получения экстремума теперь подлежат варьированию уже не четыре потенциала, а всего лишь три — компоненты векторной функции сдвига Nk. В уравнение (62) они входят 1) как коэффициенты при потоке энергии и 2) как те функции, ковариантные производные которых дают «сдвиговую аномалию» Y2-
Вариационный принцип (62) в строгой математической форме выражает нашу четвертую формулировку принципа Маха: Прошлая, настоящая и будущая геометрия пространства — времени и, следовательно, инертные свойства каждой бесконечно малой пробной частицы определяются заданием достаточно регулярной замкнутой трехмерной геометрии в два непосредственно следующие друг за другом момента времени, а также плотности и потока массы — энергии. Таким образом, из уравнения (62), если только у него имеется решение, можно найти сдвиг Nk. Тогда уравнение (61) сразу же даст функцию следования. Зная эти потенциалы, можно с помощью уравнений (56) и (58) получить внешнюю кривизну. В результате в нашем распоряжении окажется весь необходимый и внутренне непротиворечивый набор начальных данных для интегрирования уравнений поля Эйнштейна и получения однозначно определенной четырехмерной геометрии (произвольный характер выбора системы координат в этом пространстве — времени не имеет никакого отношения к его геометрии!)
Сжатые уравнения для начальных значений
Сжатые уравнения для начальных значений можно получить следующим образом. Возьмем малые вариации бNh компонент сдвига в уравнении (62). Приравняем после этого коэффициенты при этих вариациях нулю. В результате мы придем к трем взаимосвязанным дифференциальным уравнениям второго порядка, служащим для определения векторного поля N =
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 515
= (Nii N2y Nз). Точно такие же уравнения можно получить, решая уравнение (23) относительно N0 [в согласии с уравнением (61)] и подставляя результат в уравнение (24). Тогда сжатые уравнения для начальных значений будут иметь вид
2Г**11 _ (?)1'2 [(Л/. U + N п,- (3)І tj) -
