Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 499
матически сводится к нулю. В случае гармонического осциллятора указанная сумма принимает простой вид
(х", t"\x', t') = Jrie* ['я]класс, (31)
причем величина главной функции Гамильтона [/яікласс, фигурирующей в показателе степени экспоненты, дается выражением (28).
Начальные значения, задаваемые в классической теории на двух поверхностях, обычно совместны и лишь иногда несовместны
В классической теории трудность возникает в том случае, когда промежуток времени t" — Ґ является целым кратным половины периода колебаний. Через четное число полупериодов координаты должны вернуться к своим исходным значениям, а через нечетное число они должны просто изменить свой знак. 1) Если в первом случае Xrr не совпадает с а во втором случае с —x't то следует заключить, что начальные и конечные данные выбраны несовместными. 2) Даже если они были заданы совместным образом, остается совершенно неопределенным тот импульс, с которым движение происходило вначале и к которому оно вернулось в конце. В обоих случаях вариационная задача остается неопределенной.
Для квантового пропагатора не существует проблемы несовместимости
В квантовой формулировке теории такой проблемы несовместимости «данных на двух конечных точках» или «данных на двух поверхностях» не возникает. Если интервал t" — t' сводится к полупериоду, то пропагатор приводит к одному типу 6-функции Дирака
(л/7, Г\х\ O = + (32)
а если интервал равен целому периоду, то — к другому типу
(Xfft t"\x\ t') = ib(x" — x'). (33)
32*
500
Глава 15
Иными словами, квантовый пропагатор остается кор-ректно определенным при любых значениях, заданных на двух поверхностях, независимо от того, какие осложнения возникают при этом в классической задаче.
Квантовая задача всегда лежит в основе классического анализа
Следует признать неизбежность заключения о том, что геометродинамика, как и динамика частиц, имеет квантовую природу. Поэтому корректно должен быть определен квантовый пропагатор, а не классический путь. Следовательно, нас не должно беспокоить то обстоятельство, что в некоторых случаях при заданных для двух гиперповерхностей внутренних трехмерных геометриях и <3)<??" функционал действия общей
теории относительности не будет иметь экстремума. Подобные случаи представляют собой обобщение тех частных случаев, которые были только что обнаружены на примере гармонического осциллятора. Лишь в таком смысле мы имеем право говорить, что трехмерная геометрия на одной гиперповерхности может быть задана совершенно независимо от трехмерной геометрии на другой гиперповерхности.
Простейший случай двух соседних гиперповерхностей
Проще всего тот случай, когда две гиперповерхности лежат «совсем рядом». Только этот случай мы и рассмотрим подробно. Здесь наиболее прямым путем можно из значений координат на двух гиперповерхностях определить величину импульсов. Тем самым задача динамики наполовину решена. Найдя совместные и лишенные особенностей начальные значения импульсов и координат в начальный момент времени, мы можем полечить окончательное решение и вполне однозначно определить историю рассматриваемой системы по крайней мере в течение конечного интервала собственного времени в сторону прошлого и будущего1). Для этого потребуются обычные уравнения динамики:
!) Возможность этого в общей теории относительности доказана в книге [25].
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 501
1) уравнения Гамильтона для системы частиц;
2) уравнения Максвелла для электромагнитного поля;
3) уравнения Эйнштейна для геометродинамики.
Альтернативные подходы к формулировке динамики с использованием двух поверхностей
Альтернативные подходы к использованию двух поверхностей при формулировке механики частиц, электродинамики и общей теории относительности отличаются друг от друга перераспределением той аналитической нагрузки, которую несут вариационный принцип и дифференциальные уравнения.
Подход 1 к электродинамике: достаточно удаленные друг от друга гиперповерхности и упор на один лишь вариационный метод
При нахождении истории системы — будь это частица, электромагнитное поле или геометрия — можно вообще не пользоваться дифференциальными уравнениями. Вместо этого можно всецело обратиться к задаче об экстремуме интеграла действия, взятого по всему интервалу времени, на котором требуется определить историю. В случае частицы следует задать х' при t' и х" при t". В качестве подвергающейся варьированию функции можно рассматривать либо только x(t)t как в обычном лагранжевом вариационном принципе для действия (26), либо сразу и x(t) и p(t), взятые независимо друг от друга, как в формулировке Гамильтона
х\ Г
6 J \p(t)x{t) — $e(p(t), x(t), t)\dt = 0. (34)
X', t’
Для того чтобы выразить в вариационной форме электродинамику, пользуются обычными векторным и скалярным потенциалами А и ф:
B = rotA, (35)
Глава IS
в результате чего автоматически удовлетворяется половина из числа всех уравнений Максвелла. Остальные два1) уравнения Максвелла можно получить из вариационного принципа
