Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
П риложение Б
Мир Тауба с точки зрения гравитационного излучения максимальной длины волны
В мире Тауба [13] нет никакого «истинного вещества». Свое решение уравнений Эйнштейна
do2 — — dx2== Y1 dx2 + (Y1 sin2 x + Y3 cos2 x) dy2 4-
-f 2y3 cos xdydz + уъdz2 — y\y3df, (Б. I)
где
Yi = Ch JCh2-J-, ch t '
Тауб получил на основе теории групп, не связанной непосредственно с вопросами, рассматривавшимися в настоящей главе. Поэтому интересно посмотреть, как можно получить эти же решения, исходя из физических соображений.
Заменим в мире Фридмана пыль электромагнитным излучением, однородным и изотропным во всем пространстве. Мы придем таким образом к миру Толмена [44]. При его расширении и последующем сжатии длина волны каждой стоячей волны изменяется так же, как и радиус а этой модели Вселенной. Поэтому плотность массы — энергии изменяется не как 1/а3 (мир Фридмана), а как 1/а4. Мы можем теперь заменить в мире Толмена электромагнитное излучение гравитационным с малой длиной волны. В правой части уравнений Эйнштейна уже не будет «истинной» плотности массы —
34*
532
Глава 15
энергии, но мелкая рябь на геометрии приведет примерно к тому же типу искривления в крупных масштабах, какой вызывался «истинным» распределением массы — энергии. Обозначим через 6g местную среднеквадратичную амплитуду флуктуаций метрики, а через Х=Х/2я длину волны, разделенную на 2я. Тогда связанная с гравитационным излучением эффективная плотность массы — энергии будет, порядка
I 1 1 эфф 8nG
Для того чтобы искривить и замкнуть пространство, радиус которого при наибольшем расширении равен а0, требуется плотность энергии, определяемая соотношением
= Т±1, (Б. 3)
т. е.
а\
Таким образом, амплитуда ряби не должна быть большой:
31/2Л
bg (при наибольшем расширении) « —— (Б. 5)
О
в случае малой длины волны.
В процессе расширения и последующего сжатия
плотность энергии, будучи пропорциональна (бgA)2, с неизбежностью изменяется как l/a*. В результате амплитуда ряби изменяется по закону
const, X (0 _ COnst2 _ qi/2 Xo _ КЗ а0 /с
W)** a»(t) TW ~ ^W' (Б'6)
Последнее из этих выражений относится к тому случаю, когда возмущение на фоне в общем идеально сферической геометрии описывается гиперсферической гармоникой [45] порядка п. На множитель 3>,г в этой формуле, характеризующей порядок величин, обращать внимания не следует.
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 533
От очень коротких гравитационных волн естественно перейти к другой крайности, когда порядок гармоники п принимает свое наименьшее возможное значение, а длина волны максимально велика, насколько это допускается геометрией трехмерной сферы. Свойства симметрии такой гиперсферической гармоники хорошо известны [45]. Этими свойствами симметрии, а также критической амплитудой, требующейся для замыкания мира, определяются свойства той конкретной гравита-ционной волны, которая и приводит к миру Tayба.
Мир Тауба однороден, но не изотропен, и его кривизна зависит от рассматриваемого направления, хотя ее главные значения повсюду одинаковы.
О возмущениях геометрии гораздо правильнее говорить с точки зрения кривизны, а не величины бg. Причины этого широко известны — невозможно построить не зависящих от выбора координат величин, используя только компоненты метрики и их первые производные. Порядок величины типичных компонент флуктуацион-ной части кривизны можно оценить в локально лорен-цовой системе как
п/*\ _ bg bg ' - naO
ККЧволн X2 ~ (а/л)2 а3 (t) *
В то же время порядок типичной компоненты кривизны геометрии фона таков:
Яф°н ~
Следовательно, порядок наибольшей длины волны и наи-низшего п должен быть таким, чтобы возмущения геометрии, характеризующиеся различием в значениях кривизны по разным направлениям, были не наибольшими (как могло бы показаться из выражения для бg), а наименьшими.
На своих ранних и поздних этапах это возмущение становится все больше и больше, и в конце концов любая трехмерная пространственноподобная геометрия приобретает бесконечную кривизну, что представляется неким общим принципом 1).
1) Cm. [12, стр. 61].
534
Глава 15
Приложение В
Единственность решения задачи начальных значений в электродинамике и геометродинамике
Вопрос о единственности хорошо изучен в случае задачи начальных значений в электродинамике для замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий. Задавая повсюду В и В, мы придем к однозначно определенному вектору Е, если зададим скачок Дьф потенциала при обходе по k-Pi независимой топологической ручке или «кротовой норе», причем k пробегает значения от k=\ до k = R1 = R2 = (Второе число Бетти для данного многообразия). Этими числами определяется заряд или поток силовых линий, «провалившихся» в топологию. Требование фиксации чисел Дьф с наибольшей очевидностью следует из того, что при переходе от вариационного принципа (42) к дифференциальному уравнению
(43) появляется поверхностный интеграл/бф (Ed S). Проявляется ли с той же силой топология и в уравнениях для начальных значений общей теории относительности? Существует ли геометродинамический аналог электрического заряда? Из вариационного принципа, рассматривавшегося в данной главе («координатное представление»), не вытекает никаких доводов в пользу существования такого рода заряда. При интегрировании по частям уравнения (48) появляется поверхностный интеграл величины При обсуждении уравнения
