Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
~ (% i3)gmn (Nm I „ + Nn , m - Wgmn)] [(,3y*(8y«l _ WgOC (VdK^a „ +Nbia- ^gab) X
X(Ncid +Ndic-^kca)]'12
= + —~ X 0“я ковариантная компонента плотности (66) с потока энергии).
Эквивалентность вариационного принципа системе дифференциальных уравнений и граничных условий
Совместно с граничными условиями данные уравнения образуют систему, эквивалентную рассмотренному вариационному принципу для случая двух гиперповерхностей (62). В геометродинамике, как и в электродинамике, граничные условия весьма существенны, если мы хотим найти однозначную связь между «источником» [плотность и поток энергии плюс гравитационное излучение, описываемое через Wga и (3^ц = д(г^^/дх°] и «эффектом» (вектором сдвига N, четырехмерной геометрией и инертными свойствами пробных частиц). В замкнутом пространстве граничные условия очевидны: векторное поле N, полученное при интегрировании в пространстве по одному пути, должно соответствующим образом смыкаться с этим же векторным полем, полученным при интегрировании в пространстве по другому пути, проще говоря, это векторное поле (с учетом тех изменений, которые происходят при переходе от одной локальной координатной области к другой1)) должно
1) быть повсюду регулярным и 2) давать регулярную и однозначно определенную внешнюю кривизну Kij. В случае открытого пространства дифференциальные уравнения все еще будут корректно определены, но для
1) Cm., например, [12], стр. 259.
33*
616
Глава 15
них не будет граничных условий. Более того, в случае открытого пространства уже нельзя ожидать, что интеграл действия всегда будет иметь конечное и вполне определенное значение. Таким образом выявляется следствие данной формулировки принципа Маха, которое мы заложили в него, а именно что пространство должно быть замкнутым, а его геометрия W&' и <3)а?" или {3)gik и (OIdx0)Wgik — повсюду регулярной. (Конечно, можно специально ввести искусственные граничные условия на двумерной поверхности в пространственной бесконечности, но это не будет оправдано с физической точки зрения.)
Замечания о принципе Маха и о вариационном принципе для случая двух гиперповерхностей
Вопрос о единственности решения
У нас осталось столько нерешенных вопросов, что для поочередного систематического рассмотрения их потребовалась бы колоссальная работа. Среди этих вопросов один имеет первостепенную важность—вопрос о доказательстве единственности*) решений вариационной задачи, описываемой уравнением (62) (когда решение вообще существует).
Зависимость инертности от добавочных масс
В то же время много вопросов и о физическом содержании принципа Маха, которые следовало бы разобрать. Например, вопрос о том, как влияет на инертные свойства Солнца и планет вещество, находящееся в огромном сферическом слое, окружающем Солнечную систему. При исследовании этой проблемы необходима большая осторожность: например, вывод о том, что инертные свойства изменяются или не изменяются, зависит от того, находятся ли часы, с помощью которых мы измеряем время, внутри сферы или вне ее.
*) Cm. приложение В.
Принцип Маха как граничное условие для уравн. Эйнштейна 517
Мгновенно или с запаздыванием влияет источник на пробную частицу?
Другой вопрос касается скорости, с которой распространяются предполагаемые воздействия на инертность от источников к пробным частицам. Такой вопрос возникает и в электродинамике, где, согласно уравнению (65), воздействие распределения зарядов на потенциал формально представляется мгновенно распространяющимся по пространственноподобной гиперповерхности. Ho мы знаем, что в обычной максвелловской электродинамике все воздействия распространяются не мгновенно, а со скоростью света. Хорошо известно также, что между мгновенным потенциалом уравнения (65) и запаздывающими потенциалами обычной теории излучения нет никаких противоречий [38]. Точно так же и в геометродинамике имеется существенно эллиптическое уравнение, которому формально соответствует мгновенное распространение воздействия от точки к точке по пространственноподобной гиперповерхности. Известно, однако, что возмущение при изменении источника в одной точке достигает другой лишь со скоростью света
[39]. Как и в электродинамике, характер уравнений в геометродинамике таков, что противоречий между следствиями одних и тех же причин (источников), вычисленными двумя разными путями, не может быть. Поэтому в принципе не может никаких затруднений вызвать вопрос, упомянутый в п. 4 на стр. 473: какой вообще смысл может иметь принцип Маха, если он требует, чтобы и ускоренная пробная масса оказала воздействие на все другие массы Вселенной и те в свою очередь оказали обратное действие на нее? 4) И здесь, как в фермиевском анализе электродинамики, хотелось бы взглянуть поглубже в самую суть действия того механизма, благодаря которому и 1) замедленное распространение, и 2) формально мгновенное распространение оба с необходимостью приводят к одному и тому же решению уравнений поля Эйнштейна.
1) Подробности относительно эквивалентности методов вычисления потенциалов в электродинамике с помощью запаздывающих потенциалов и другими методами см., например, в статьях [40].
